Willkommen zu Das ist Mathematik 6 Willkommen zu Das ist Mathematik Liebe Schülerin, lieber Schüler, wir möchten dich herzlich in der vierten Klasse begrüßen. Das Buch Das ist Mathematik wird dich im Mathematikunterricht begleiten. Wir möchten dir zeigen, dass Mathematik mehr als Rechnen ist. Mathematik ist… …eine Sprache. Deswegen werden dir so genannte Sprachbausteine bei der Übersetzung von Mathematik in die Alltagssprache und umgekehrt helfen. Insbesondere helfen dir die Satzbausteine, wenn du Sachverhalte interpretieren und begründen sollst. …wichtig für die geschichtliche Entwicklung der Menschheit. Deswegen wirst du einen Teil davon mit Hilfe der geschichtlichen Einstiegsseiten am Anfang jedes Abschnitts kennenlernen. Hier findest du auch nette Rätsel und interessante Aufgaben. Die Lösungen dazu findest du mit dem Code 8hx7h7 unter www.oebv.at im Lehrwerk-Online Das ist Mathematik. Berechnungen bei Prismen und Pyramiden I 204 Berechnungen bei Prismen und Pyramiden Platon, der Namensgeber Schon die Pythagoreer im 6. Jahrhundert vor Chr. kannten den Tetraeder, den Hexaeder und den Dodekaeder. Der Oktaeder wurde als Doppelpyramide verstanden. Der griechische Philosoph Platon (um 427–347 vor Chr.) wurde zum Namensgeber der fünf geometrischen Körper. In seinem Werk „Timaios“ beschrieb er sie ausführlich. Er ordnete ihnen die so genannten vier Elemente zu: dem Tetraeder das Feuer, dem Hexaeder die Erde, dem Oktaeder die Luft und dem Ikosaeder das Wasser. Der Dodekaeder ließ sich mit dem von Aristoteles genannten fünften Element „Äther“ gleichsetzen. In dieser Darstellung werden den Platonischen Körpern die jeweiligen Elemente zugeordnet (➔ aus Harmonice mundi von Johannes Kepler). Durch welche Symbole sind die Elemente dargestellt? Platonische Körper Körper, die durch regelmäßige und kongruente Vielecke begrenzt werden und bei denen in jeder Ecke gleich viele dieser Vielecke zusammenstoßen, heißen Platonische Körper. Es gibt deren nur fünf, wie Euklid (360–280 vor Chr.) bewiesen hat. Die Anzahl ihrer (Begrenzungs-)Flächen findet sich in ihrem Namen in griechischer Sprache: regelm. Tetraeder (Oberfläche: vier gleichseitige Dreiecke) regelm. Hexaeder (Oberfläche: sechs Quadrate) regelm. Oktaeder (Oberfläche: acht gleichseitige Dreiecke) regelm. Dodekaeder (Oberfläche: 12 regelmäßige Fünfecke) regelm. Ikosaeder (Oberfläche: 20 gleichseitige Dreiecke) Vielflächner heißen Polyeder. Dabei kommt der Wortteil „eder“ vom griechischen „edra“, was so viel wie Fläche bedeutet. Der (regelmäßige) Tetraeder ist eine Pyramide, der Hexaeder ein Prisma und der Oktaeder eine „Doppelpyramide“. Auch beim Dodekaeder bzw. Ikosaeder kann man Teilpyramiden erkennen. Prismen und Pyramiden spielen also bei den Platonischen Körper eine wichtige Rolle. I 205 Worum geht es in diesem Abschnitt? • Flächen- und Raumdiagonale des Prismas • Oberfläche, Rauminhalt und Masse von Prisma und Pyramide • Oberfläche und Rauminhalt von regelmäßigen Tetraeder und Oktaeder Alles ist Symmetrie Alle (Begrenzungs-)Flächen der Platonischen Körper sind regelmäßig und haben jeweils den gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Körpers. Es existiert eine Inkugel und eine Umkugel. Die Platonischen Körper weisen größtmögliche Symmetrie auf. Auf Grund dieser Symmetrie haben homogen gefertigte Modelle Platonischer Körper die Eigenschaft, dass sie beim Werfen mit der exakt gleichen Wahrscheinlichkeit auf jede ihrer Flächen fallen (➞ Bild rechts). Welche Platonischen Körper stellen die Spielsteine dar? Übertrage das Netz auf ein Blatt Papier und schneide es aus! Vergiss nicht auf die Falzkanten! Welche Form hat der entstandene Spielstein? Platonische Körper in Natur und Kunst Wissenschafter haben erkannt, dass die Anordnung der Wasserstoffatome im Metan-Molekül einem Tetraeder entspricht. Tetraeder, Hexaeder und Oktaeder findet man auch im Bau von Kristallen. So bildet etwa Natriumchlorid (Steinsalz) Kristalle annähernd in der Form von Hexaedern und Alaun (Tonerdesalz) solche von Oktaedern. Pyrit-Kristalle können die Form sowohl von Hexaedern als auch von Oktaedern haben. In der Mineralogie werden diese Kristallformen mit dem Begriff „kubisch“ zusammengefasst. In der bildenden Kunst sind Platonische Körper in den Werken von zB Leonardo da Vinci (1452–1519) enthalten, aber auch in der Kunst des 20. Jahrhunderts zB bei Mauritz C. Escher (1898–1972). Johannes Kepler (Astronom, Mathematiker, 1571–1630) stellte 1596 die Bahnradien der sechs damals bekannten Planeten durch eine bestimmte Abfolge der Platonischen Körper mit deren In- und Umkugeln dar. Doktorarbeit von Johannes Kepler. OnlineCode zu den historischen Videos Spielerischer Abschluss der Einstiegsseite Lernziele Sprachbaustein Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=