34 AReelle Zahlen Vereinfache die Zahl durch partielles Wurzelziehen! a) √ __ 75 b) √ ___ 300 c) √ ____ 4a 2 b (a, b ≥ 0) d) 3 √ __ 16 e) 3 √ __ 54 Kreuze die richtigen Aussagen an! A 2· √ _ 5= √ __ 20 B 3· √ _ 7= √ __ 21 C 4· √ _ 2= √ __ 32 D 2 √ _ 2= √ _ 4= 2 Welche Seitenlänge hat ein Quadrat, das 1) den doppelten, 2) den dreifachen, 3) den vierfachen, 4) den n-fachen Flächeninhalt eines gegebenen Quadrats mit der Seitenlänge a hat? a) a = 5,0 cm b) a = 30 cm c) a = 10,0 cm d) a = x cm a) Welche Hypotenusenlänge c ist in der Figur dargestellt? b) Stelle die nachfolgenden Wurzeln als Streckenlängen mit Hilfe rechtwinkliger Dreiecke dar! Hinweis Die Seitenlängen sind a, b ≤ 6 1) √ __ 10 2) √ ___ 40 3) √ _ 8 4) √ __ 20 5) √ __ 17 Ian behauptet: „Wenn ich eine irrationale Zahl mit einer geschickt ausgesuchten natürlichen Zahl (≠ 0) multipliziere, dann wird aus der irrationalen Zahl eine rationale Zahl!“ Kannst du die Behauptung von Ian widerlegen? Verwende die Definition irrationaler Zahlen! Welche der folgenden Behauptungen sind richtig? Erkläre mit eigenen Worten! Finde bei falschen Behauptungen Gegenbeispiele! 1) Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl. 2) Jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl. 3) Im Bereich der rationalen Zahlen ℚ ist das Dividieren uneingeschränkt durchführbar. 4) Im Bereich der ganzen Zahlen ℤ ist das Subtrahieren uneingeschränkt durchführbar. 126 D A O I 127 D A O I 128 D A O I 129 D A O I 7 5 c 130 D A O I 131 D A O I Quadratwurzelziehen Kubikwurzelziehen (Umkehrung des Quadrierens) (Umkehrung des Kubierens) x 2 = a É x = √ __ a (a, x ≥ 0) x 3 = a É x = 3 √ __ a (a, x ≥ 0) Wurzeln aus natürlichen Zahlen sind entweder wieder natürliche Zahlen oder irrationale Zahlen. Die irrationalen Zahlen lassen sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen, nicht periodischen Nachkommastellen. Der TR liefert nur Näherungswerte irrationaler Zahlen. Rechenregeln für Wurzeln √ __ a · √ __ b= √ ___ a·b (a, b ≥ 0) √ __ a __ √ __ b = √ __ a _ b (a ≥ 0, b > 0) Beachte: √ __ a – √ __ b ≠ √ ____ a – b (a > b > 0) √ __ a+ √ __ b ≠ √ ____ a + b (a, b > 0) Die Menge der rationalen Zahlen ℚ (Bruchzahlen) bildet mit der Menge der irrationalen Zahlen I die Menge der reellen Zahlen R. Jeder Punkt auf der Zahlengeraden entspricht genau einer reellen Zahl und umgekehrt. Mit Hilfe von Schranken (Ungleichungsketten) lassen sich irrationale Zahlen mittels rationaler Zahlen eingrenzen. Eine Ungleichungskette lässt sich auch in der Form eines Intervalls schreiben. AH S. 15 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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