Reelle Zahlen A5 32 Die Länge d der Diagonale eines Quadrats ist a) √ __ 50cm, b) √ __ 72cm, c) √ ___ 162cm. 1) Ermittle mit dem TR einen Näherungswert für die Diagonalenlänge! 2) Konstruiere das Quadrat mit Hilfe dieses Näherungswerts! 3) Berechne die Seitenlänge a des Quadrats mit Hilfe der Formel d = √ _ 2 ·a und vergleiche diesen Wert mit der Konstruktion in 2)! a) Zerlege folgende Zahlen in eine Summe zweier Quadratzahlen! 1) 13 2) 41 3) 45 4) 52 5) 58 6) 65 7) 73 8) 80 b) Zerlege folgende Zahlen in eine Differenz zweier Quadratzahlen! 1) 5 2) 20 3) 27 4) 33 5) 40 6) 48 7) 55 8) 72 Mit Hilfe des Satzes von Thales können Quadratwurzeln auch als Kathetenlängen dargestellt werden, indem die größere Quadratzahl dem Quadrat der Hypotenusenlänge entspricht. 1) Stelle die Zahl unter der Wurzel als Differenz zweier Quadratzahlen dar! 2) Konstruiere die entsprechende Kathetenlänge und schlage die Wurzel am Zahlenstrahl ab! a) √ _ 5 b) √ __ 11 c) √ __ 21 d) √ __ 13 e) √ __ 32 d) √ __ 20 Begründe, ob die Aussage richtig oder falsch ist! Gib dazu auch Beispiele bzw. Gegenbeispiele an! a) Vergrößert man eine Quadratzahl um 1 und zieht daraus die Wurzel, so erhält man die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit ganzzahligen Kathetenlängen. b) In jedem rechtwinkligen Dreieck treten irrationale Seitenlängen auf. c) In jedem Quadrat ist die Länge der Diagonale eine irrationale Zahl. Mit Hilfe der pythagoreischen Schnecke kann man theoretisch alle Quadratwurzeln natürlicher Zahlen als Streckenlänge konstruieren. a) Erkläre die in der Figur angegebenen Streckenlängen von AC, AD, AE, AF und AG! b) Zeichne die Figur in deinem Heft nach! Wähle als Einheitsstrecke 1 cm! c) Ermittle durch Rechnen, wie lang die Strecken AC, AD, AE, AF und AG sein müssten! Vergleiche mit deiner Konstruktion! d) Setze die Schnecke so weit wie möglich fort! 112 D A O I 113 D A O I 114 D A O I Beispiel √ _ 7 1) √ _ 7= √ _____ 16 – 9= √ _____ 4 2 – 3 2 2) Dreieck mit den Seitenlängen c = 4 cm, b = 3 cm zeichnen: Dazu konstruiere den Thaleskreis mit dem Durchmesser 4 cm und schlage die Kathete mit der Länge 3 cm ab! Die dritte Seite hat genau die Länge √ _ 7. Nimm die Seitenlänge in den Zirkel und schlage auf dem Zahlenstrahl ab! 7√ 3 4 115 D A O I 116 D A O I A B C D E F G 1 2 1 1 1 1 1 √2 √3 √4 √5 √6 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv
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