Reelle Zahlen A2 24 Marek kauft als Geschenk für seine Mutter Himbeeressig in einer würfelförmigen Flasche. Auf der Unterseite sieht er, dass das Füllvolumen V der Flasche 0,512 Liter beträgt, das sind cm3. Er möchte wissen, welche Kantenlänge der Innenraum der Flasche hat und überlegt: V = x 3 = x·x·x. Er muss also die Zahl x ermitteln, deren dritte Potenz gleich ist. Diese Zahl heißt Kubikwurzel aus 512. Statt Kubikwurzel sagt man auch „dritte Wurzel“, und man schreibt: x = 3 √ ___ 512. Da 8 3 = · · = 512 ist, gilt 3 √ ___ 512= 8. Die Innenseite der Glasflasche ist also 8 cm lang. zB: 1 000 ist eine Kubikzahl, weil 10 3 = 1 000 ist. Umgekehrt gilt 3 √ ____ 1 000= 10. Das Berechnen der Kubikwurzel heißt Kubikwurzelziehen und ist die Umkehrung des Kubierens („hoch 3“). Hinweis Eine Zahl x ≥ 0 heißt vierte Wurzel einer Zahl a ≥ 0, wenn x 4 = a ist. Man schreibt 4 √ __ a. Das Zeichen √ __ asteht für 2 √ __ a. Analog ist die n-te Wurzel n √ __ adefiniert. Wie lauten die ersten 5 Kubikzahlen (aus ℕ)? (ohne TR) Zwischen welchen beiden aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt die Kubikwurzel? a) 3 √ __ 10 b) 3 √ __ 25 c) 3 √ __ 60 d) 3 √ __ 82 e) 3 √ ___ 100 f) 3 √ ___ 150 Wie viele und welche natürlichen Zahlen sind kleiner als 3 √ ____ 2 000? Ordne die Kubikwurzeln in der linken Tabelle den entsprechenden Zahlen in der rechten Tabelle zu! Schreibe die Buchstaben in die freie Spalte! a) 1 3 √ ____ 1 000 A 1 2 3 √ ___ 216 B 6 3 3 √ ___ 729 C 9 4 3 √ _ 1 D 0,6 5 3 √ ____ 0,216 E 10 b) 1 3 √ ____ 0,001 A 1,2 2 3 √ ___ 343 B 7 3 3 √ ____ 1,728 C 1,6 4 3 √ ____ 4,096 D 32 5 3 √ _____ 32768 E 0,1 Berechne die Kubikwurzeln von 1) 8, 27, 64, 2) 0,008; 0,027; 0,064! Vergleiche die Ergebnisse von 1) und 2) und erkläre den Zusammenhang! interaktive Vorübung 9da6cd AH S. 72 interaktive Vorübung 468s8e AH S. 12 Eine Zahl x heißt Kubikwurzel einer Zahl a, wenn x 3 = a ist. x 3 = a É x = 3 √ __ a (a, x ≥ 0) Für a ≥ 0 gilt: 3 √ __ a 3= ( 3 √ __ a ) 3 = a Eine natürliche Zahl a heißt Kubikzahl, wenn sie die 3. Potenz einer natürlichen Zahl b ist: a = b 3 (a, b * ℕ) Kubikwurzel und Kubikzahlen 71 D A O I 72 D A O I Beispiel 3 √ _ 13 13 = 1; 23 = 8; 33 = 27 w 2 < 3 √ __ 13 < 3 73 D A O I 74 D A O I 75 D A O I 2 Kubikwurzel Arbeitsblatt Plus 7u24yc Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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