232 Zylinder, Kegel und Kugel J Ein Behälter für Flüssigbeton hat die Form eines speziellen Zylinders (h = 5 r) mit einem unten angesetzten, durchmessergleichen gleichseitigen Kegel (s = 2 r). a) Fertige eine Skizze an und berechne das Fassungsvermögen des Behälters, wenn der Durchmesser der Kreisfläche d = 3,60m beträgt! b) Wie viel Quadratmeter Material werden für einen solchen Behälter (oben geschlossen) mindestens benötigt? c) Gib für die Berechnung 1) des Volumens und 2) der Oberfläche des Behälters eine (möglichst vereinfachte) Formel an, in der nur der Radius r als Variable auftritt! Als Wahrzeichen für die Weltausstellung im Jahr 1958 in Brüssel wurde das „Atomium“ errichtet (➞ Foto). Das 102m hohe Atomium stellt eine 165-milliardenfache Vergrößerung einer Eisenkristallzelle dar und besteht aus neun Kugeln mit je 18m Durchmesser. Wie groß ist 1) das Volumen, 2) die Oberfläche einer solchen Kugel? Eine oben offene Schultüte soll die Form eines Kegels haben. Ihr Fassungsvermögen soll 2,5 Liter betragen und die Tüte soll 50 cm tief sein. a) Wie groß muss der Radius an der Öffnung der kegelförmigen Tüte werden? b) Wie viel Quadratzentimeter Pappkarton sind für eine solche Tüte nötig, wenn für Verschnitt und Falz insgesamt 4% der Mantelfläche hinzugerechnet werden? c) Welcher Anteil ihres Volumens (in%) ist gefüllt, wenn die Tüte bis zur Hälfte ihrer Tiefe voll ist? Kannst du diese Frage auch beantworten, ohne die Volumina vorher zu berechnen? Ein zylindrisches Gefäß mit dem Innendurchmesser d = 20mm soll als Messglas geeicht werden. Berechne, in welchen Abständen die Teilstriche für je 5 cm3 anzubringen sind! Für einen Trichter wird ein Kegel mit Höhe h und Durchmesser d produziert. Anschließend wird die Spitze in der Höhe h1 abgeschnitten. 1) Berechne den Durchmesser d1! 2) Berechne das Volumen des Trichters! a) h = 18 cm, d = 12 cm, h1 = 2,25 cm b) h = 6 cm, d = 4 cm, h1 = 1 cm c) h = 1 dm, d = 1,4dm, h1 = 0,05dm 1023 D A O I 1024 D A O I 1025 D A O I 1026 D A O I 1027 D A O I h h1 d d1 Verwende für die Berechnung von d1 den Strahlensatz! Tipp (Dreh-)Zylinder V = π· r 2 ·h M = 2 π·r·h O = 2·G + M = 2 π· r 2 + 2 π·r·h = 2 π·r·(r + h) (Dreh-)Kegel V = π· r 2 ·h ____ 3 M = π·r·s O = G + M = π· r 2 + π·r·s = π·r·(r + s) s = √ _____ r2 + h2 Kugel V = 4 π __ 3 r 3 O = 4 π r 2 AH S. 75 r h h r s r M Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv
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