227 J 2 Kegel s=2r S r r M Ein Kegel, dessen Basiskreisdurchmesser genau so lang wie seine Mantellinie s ist, heißt gleichseitiger Kegel. 1) Warum ist diese Formulierung berechtigt? 2) Es gilt: • Oberfläche des gleichseitigen Kegels: O = 3 π· r 2 • Rauminhalt des gleichseitigen Kegels: V = π __ √ 3 · r 3 . Leite diese Formeln von den bekannten Formeln für Kegel ab! Gegeben ist der Radius eines gleichseitigen Kegels (➞ vgl. Aufgabe 988). Berechne 1) die Mantelfläche, 2) die Oberfläche, 3) das Volumen! a) r = 4,0 cm b) r = 7,0 cm c) r = 57mm d) r = 72mm Wenn von einem geometrischen Körper alle Längenmaße mit dem Faktor 10multipliziert werden, mit welchem Faktor werden dann Volumina bzw. Inhalte von Seitenflächen multipliziert? Beantworte die Frage am Beispiel des Kegels (Ameisenhaufen)! Umkehraufgaben Von einem Kegel kennt man das Volumen und die Höhe h bzw. den Basiskreisradius r. Berechne 1) die fehlende Größe, 2) die Länge der Mantellinie, 3) die Oberfläche des Kegels! a) V = 1 183 π cm3 b) V = 3 072 π cm3 c) V = 1,0m3 h = 21 cm r = 24 cm h = 1,0m Ein kegelförmiger Blumentopf (➞ Foto) soll oben den Innendurchmesser d = 13,0 cm haben. Dabei soll 1,5 Liter Erde hineinpassen. a) Welche Tiefe muss der Blumentopf mindestens haben? b) Der Blumentopf wird nur bis zu 2 _ 3seiner Tiefe mit Erde gefüllt. Sind damit auch 2 _ 3seines Volumens gefüllt? Rechne nach! Welcher Bruchteil des Gesamtvolumens ist es wirklich? c) Man kann b) auch beantworten, ohne die Volumina wirklich auszurechnen. Beschreibe, wie das möglich ist! Ein kegelförmiger Trichter soll 5 Liter fassen. 1) Wie lang muss jeweils die Höhe h sein, wenn der Basiskreisradius r den Wert a) 5 cm, b) 10 cm, c) 15 cm, d) 20 cm, e) 25 cm, f) 30 cm annimmt? Runde auf Zentimeter! 2) Berechne zu Aufgabe 1) den jeweiligen Materialverbrauch für den (oben offenen) Trichter (Falzkanten, Verstärkungen und Trichterauslass sollen vernachlässigt werden)! 3) Zeichne zu Aufgabe 2) ein Diagramm, das die Abhängigkeit des Materialverbrauchs vom Radius r veranschaulicht! Trage auf der 1. Koordinatenachse die Werte für den Radius r und auf der 2. Koordinatenachse die Werte für die Mantelfläche M auf! 4) Bei welchem Radius aus Aufgabe 1) ist der Materialverbrauch am geringsten? Hinweis Diese Aufgabe lässt sich vorteilhaft mit einem Tabellenkalkulationsprogramm ausführen. Ein kegelförmiges Gefäß steht auf seiner Grundfläche und ist bis zur halben Höhe mit Wasser gefüllt. Nun wird es auf die Spitze gestellt. Bis zu welchem Bruchteil der Höhe steht nun die Flüssigkeit? Hinweis Hier kann man Rechenarbeit sparen, wenn man bedenkt, dass für „ähnliche Körper“ gilt: Längenänderungsfaktor = k É Volumenänderungsfaktor = k3 988 D A O I 989 D A O I 990 D A O I 991 D A O I 992 D A O I 993 D A O I 994 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=