225 J 2 Kegel 2.2 Oberfläche des Kegels Um das Nest vor Pilzbefall zu schützen, graben Ameisen regelmäßig die „Mantelfläche“ ihres Ameisenhaufens komplett um. Jetzt wollen Caroline und Philipp wissen, wie groß diese Fläche ist. Die mathematische Fragestellung lautet: Wie berechnet man die Mantelfläche (bzw. die Oberfläche) eines Kegels, von dem man den Durchmesser (oder den Radius) des Basiskreises und die Höhe kennt? Denk dir den Mantel eines Kegels längs einer Mantellinie s aufgeschnitten und in einer Ebene ausgebreitet (➞ Figur rechts)! Diesen Teil eines Kreises nennt man . Sein Radius ist gleich der Länge der Mantellinie s und seine Bogenlänge gleich dem Umfang der Grundfläche (b = u G = 2 π r). Den Flächeninhalt des Kreissektors (= der Inhalt der Mantelfläche) kann man mit der Formel M = b·r ___ 2 berechnen. Setze in dieser Formel für b den Umfang der Grundfläche (u G = 2 π r) und für r die Mantellinie s ein und vereinfache: M = 1 _ 2 ·2 π r·s = π·r·s Die Oberfläche des Kegels setzt sich aus der Grundfläche und der Mantelfläche zusammen. Länge der Mantellinie Oft sind Radius und Höhe eines Kegels angegeben. Zur Berechnung der Oberfläche braucht man die Länge der Mantellinie s. In der Figur rechts ist eine Schnittfläche eingezeichnet. Mit Hilfe des gleichschenkligen Dreiecks (➞ in der Figur orange) kann man die Länge der Mantellinie s des Kegels berechnen. Wendet man den Satz des an, so erhält man folgenden Zusammenhang: s 2 = r 2 + h 2 a) Der kegelförmige Ameisenhaufen, den Caroline und Philipp entdeckt haben, hat einen Durchmesser von 1,5m und eine Höhe von 0,75m. Berechne die Mantelfläche des Ameisenhaufens! b) Ein zweiter derartiger Ameisenhaufen hat eine 85 cm lange Mantellinie und ist 68cm hoch. Wie groß ist seine Mantelfläche? s r s r Mantelfläche Mantellinie Grundfläche Umfang der Grundfläche h r r s Mantelfläche M = 2·π·r·s _____ 2 = π·r·s Kurzsprechweise: Mantelfläche = Umfang der Grundfläche mal Mantellinie durch 2. Länge der Mantellinie: s = √ _____ r 2 + h 2 Oberfläche O = G + M Kurzsprechweise: Oberfläche = Grundfläche plus Mantelfläche Wegen G = π r 2und M = π·r·s folgt: O = π·r 2+ π·r·s = π·r·(r + s) Öberfläche und Mantelfläche des Kegel 981 D A O I Arbeitsblatt zs257k Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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