224 Zylinder, Kegel und Kugel J 2 b a M S Dreht man ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten, so entsteht ein Drehkegel. Jene Seite, um die gedreht wird, bildet die Achse des Drehkegels, ihre Länge entspricht der Kegelhöhe. Die Länge der anderen Kathete ist gleich dem Radius des Basiskreises (➞ Figur links). Berechne die Rauminhalte der beiden entstehenden Drehkegel, wenn sich das Dreieck 1) um die Kathete a, 2) um die Kathete b dreht! 3) In welchem Verhältnis stehen die beiden Rauminhalte zueinander? Vereinfache das Verhältnis so weit wie möglich! a) a = 15 cm, b = 10 cm c) a = 24 cm, b = 18 cm b) a = 21 cm, b = 16 cm d) a = x cm, b = y cm Ein Geodreieck (ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck) rotiert um die Hypotenuse. Dabei entsteht ein aus zwei kongruenten Drehkegeln bestehender Körper. Berechne den Rauminhalt des geometrischen Körpers! a) Hypotenuse: 16 cm c) Katheten: 12 cm b) Hypotenuse: 28 cm d) Katheten: 42 cm In Biogasanlagen (➞ Foto) werden landwirtschaftliche Abfallstoffe (Biomasse) in Methangas umgewandelt. Dieses wird zur Erzeugung von Strom und Wärme verwendet. Der Behälter einer Biogasanlage besteht meist aus einem Zylinder (r, hZ) mit einem aufgesetzten Kegel gleicher Grundfläche (Höhe: hK). Berechne den Rauminhalt des Behälters! a) r = 3,70m, hZ = 3,30m, hK = 1,50m b) r = 4,80m, hZ = 5,20m, hK = 3,50m c) r = hZ = hK = 2,90m d) r = hZ = hK = 3,60m Eine Wasserboje besteht aus einem liegenden Zylinder mit zwei aufgesetzten Kegeln gleicher Grundfläche (➞ Figur rechts). Berechne den Rauminhalt dieser Boje, wenn die Zylinderhöhe z, die Kegelhöhe k und der Basiskreisradius r gegeben sind! a) z = 80 cm, k = 30 cm, r = 20 cm b) z = 1,20m, k = 4 _ 3 ·r, r = 21 cm Das Senkblei auf dem Foto soll vereinfacht als Kegel mit 5 cm Höhe und einem Durchmesser von 3 cm betrachtet werden. Das Senkblei ist dabei nicht wirklich aus Blei; der verwendete Stahl hat eine Dichte von ca. 7800kg/m3. Gib die Masse des Senkbleis an! Ein Kegel aus Holz hat einen Radius von 0,25m und eine Höhe von 0,30 m. Die Dichte von dem verwendeten Holz beträgt 500kg/m3. 1) Berechne die Masse des Kegels! 2) Wie schwer ist ein Zylinder mit denselben Maßen (Radius und Höhe) wie der Kegel? 3) Ist der Kegel oder der Zylinder schwerer? Begründe, dass man diese Frage beantworten kann, ohne das Volumen bzw. die Masse der Körper zu berechnen! 975 D A O I 976 D A O I 977 D A O I k z k r 978 D A O I 979 D A O I 980 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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