223 J 2 Kegel 2.1 Volumen des Kegels Caroline und Philipp haben beim Wandern im Wald einige kegelförmige Ameisenhaufen entdeckt. Caroline meint: „Die Ameisen müssen wohl sehr viel Erde, Blätter und Nadeln für so einen Kegel zusammentragen.“ Caroline und Philipp wüssten gerne, wie viel Material die Ameisen dafür sammeln müssen. Das mathematische Modell zu dieser Fragestellung lautet: Wie berechnet man den Rauminhalt eines Kegels, von dem man den Durchmesser (oder den Radius) des Basiskreises und die Höhe kennt (➞ Figur unten)? Die geometrische Form eines Kegels erinnert an eine regelmäßige Pyramide. In der Figur links ist dem Kegel eine regelmäßige -seitige Pyramide eingeschrieben. Ihr Rauminhalt liefert einen Näherungswert für das Volumen des Kegels. Ähnlich wie bei Zylinder und Prisma können wir vermuten, dass die Formel für das Volumen der Pyramide V = 1 _ 3 · G·h auch für den Kegel gilt. Der Unterschied ist, dass die Grundfläche der Pyramide ein Vieleck, die des Kegels ein Kreis ist. Erst mit Hilfe von Methoden der höheren Mathematik kann man beweisen, dass unsere Vermutung auch tatsächlich stimmt. Hinweis Wie beim (Dreh-)Zylinder müssten wir auch beim Kegel mathematisch gesehen immer „Drehkegel“ schreiben. Welche Linie dreht sich dabei um eine Achse? (Bei einem zugehörigen Experiment kann dir ein eingestochener Zirkel gut helfen.) Wenn Missverständnisse ausgeschlossen sind, schreiben wir auch hier einfach kürzer „Kegel“ und meinen immer „Drehkegel“! Berechne das Volumen des Kegels, dessen Radius und Höhe gegeben sind! a) r = 2 cm, h = 3 cm c) r = 1,8m, h = 3,2m e) r = 1 _ 2dm, h = 4dm b) r = 7,4 cm, h = 5,2 cm d) r = h = 158 cm f) r = x _ 2m, h = 2 xm Der Ameisenhaufen, den Caroline und Philipp entdeckt haben, hat einen Durchmesser von 1,5m und eine Höhe von 0,75m. Berechne das Volumen! interaktive Vorübung b7w923 AH S. 71 Spitze Mantel Mantellinie Grundfläche Höhe V = G·h ___ 3 Weil G = π· r 2ist, folgt: V = π· r 2 ·h ____ 3 Kurzsprechweise: Volumen = Grundfläche mal Höhe durch 3 Rauminhalt (Volumen) des Kegels 973 D A O I 974 D A O I 2 Kegel Arbeitsblatt hd87ft Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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