Reelle Zahlen A1 22 1.3 Rechnen mit Quadratwurzeln Im Unterricht ist die Frage aufgetaucht, ob die Wurzel aus einer Summe gleich der Summe der Wurzeln aus den einzelnen Summanden ist: √ ____ a + b = √ __ a+ √ __ b Leon erinnert sich, dass man zum Widerlegen einer Behauptung nur ein Gegenbeispiel finden muss. Dazu wählt Leon die Zahlen a = 9 und b = 16. Daraus ergibt sich √ ________ 9 + = √ ______ = bzw. √ _ 9+ √ __ 16= 3 + = . Somit muss obige Beziehung falsch sein. Für den Beweis einer Behauptung reicht es nicht, Zahlen einzusetzen, denn diese muss allgemein begründet werden. Ist zB √ ___ a·b= √ __ a · √ __ b? Leon quadriert beide Seiten (Äquivalenzumformung, da beide Seiten nicht negativ) und erhält für die linke Seite ( √ ___ a·b ) 2 = a·b und für die rechte Seite ( √ __ a · √ __ b ) 2 = √ __ a · √ __ b · √ __ a · √ __ b= √ __ a · √ __ a · √ __ b · √ __ b = ( √ __ a) 2 · ( √ __ b) 2 = a·b. Somit gilt diese Rechenregel allgemein für a, b ≥ 0 . a) Zeige, dass die Wurzel aus einer Differenz im Allgemeinen nicht gleich der Wurzel aus dem Minuenden minus der Wurzel aus dem Subtrahenden ist! b) Schreibe diesen Zusammenhang mit Variablen auf! Zeige durch Quadrieren! a) √ ____ a + b ≠ √ __ a+ √ __ b (a, b > 0) c) √ ____ a – b ≠ √ __ a – √ __ b (a > b > 0) b) √ _____ a 2 + b 2 ≠ a + b (a, b > 0) d) √ _____ a 2 – b 2 ≠ a – b (a > b > 0) Zeige durch Quadrieren, dass die Wurzel eines Quotienten gleich der Wurzel aus dem Zähler durch die Wurzel aus dem Nenner ist! Berechne durch geschicktes Zerlegen ohne TR! a) √ ____ 2 500= c) √ _____ 10 000= e) √ _____ 40 000= g) √ _______ 4 000 000= b) √ ____ 8100= d) √ ___ 900 = f) √ ______ 250 000 = h) √ _______ 36 000 000= Ziehe die Wurzel und berechne ohne Hilfe des TR! a) √ ___ 100 ___ 25 = b) √ ____ 400 ___ 1 600 = c) √ ____ 900 ____ 40 000 = d) √ __ 36 __ 64 = e) √ ___ 169 ___ 49 = f) √ ___ 81 ___ 144 = g) √ ___ 225 ___ 121 = Für jedes rechtwinklige Dreieck mit γ = 90° gilt der Satz des Pythagoras √ _____ a 2 + b 2= c. Würde √ ____ a + b= √ __ a+ √ __ bgelten, welche Beziehung ergäbe sich dann für die Hypotenuse c? Begründe, warum dies nicht stimmen kann! ? Quadratwurzel von Produkten √ ___ a·b= √ __ a · √ __ b Quadratwurzel von Quotienten √ __ a _ b= √ __ a __ √ __ b (b > 0) ABER: Quadratwurzel von Summen/Differenzen √ ____ a ± b ≠ √ __ a ± √ __ b (a > b > 0) Rechenregeln für Quadratwurzeln (a, b ≥ 0) 58 D A O I Verwende auf der rechten Seite die binomischen Formeln! Tipp 59 D A O I 60 D A O I 61 D A O I Beispiel √ ____ 6 400= √ ______ 100 · 64 = √ ___ 100 · √ __ 64 = 10 · 8 = 80 62 D A O I 63 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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