219 J 1 Zylinder Mantelfläche und Oberfläche des Zylinders Um die Mantelfläche und in weiterer Folge die Oberfläche eines Zylinders berechnen zu können, kannst du zB folgendermaßen überlegen: Denke dir den Mantel eines Zylinders entlang einer Mantellinie aufgeschnitten und in der Ebene ausgebreitet (zB das Etikett einer Konservendose). Es entsteht ein Rechteck: Eine Seite bildet der Umfang der Grundfläche und die andere Seite bildet die Höhe des Zylinders. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist der Inhalt der Mantelfläche M des Zylinders. Die Oberfläche des Zylinders setzt sich aus der • Grundfläche (geometrische Form: ), • Deckfläche (geometr. Form: ) und der • Mantelfläche (geometr. Form: ) zusammen. Grund- und Deckfläche sind kongruent. Nenne einige (annähernd) zylinderförmige Gegenstände, die du aus dem Alltag kennst! Kannst du welche im Klassenzimmer entdecken? Von einem Zylinder kennt man den Radius und die Höhe. Fertige eine Skizze an! Berechne 1) die Mantelfläche, 2) die Oberfläche, 3) das Volumen des Zylinders! a) b) c) d) e) f) g) r 15mm 63 cm 32 cm 112 cm 328 cm 3,7m 1,3m h 60mm 97cm 65 cm 237cm 540 cm 1,8m 1,5m Gib die Ergebnisse mit Hilfe von π an! a) r = h = 1m, b) r = h = 2dm r Deckfläche Umfang der Grundfläche Mantellinie Höhe Grundfläche Mantelfläche r Mantelfläche: M = u G ·h Wegen u G = 2 π r folgt: M = 2 π r·h Oberfläche: O = 2·G + M Wegen G = π r 2folgt: O = 2 π r 2 + 2 π r·h = 2 π r (r + h) Kurzsprechweise: Oberfläche = zweimal Grundfläche plus Mantelfläche Mantel- und Oberfläche des Zylinders 948 D A O I Beispiel r = 3,20m, h = 9,60m 1) M = 2 π r·h 2 π· 3,2 ·9,6 = 193,01… ≈ 193 M ≈ 193m2 3) V = G·h = π r 2 ·h π·3,2 2 ·9,6 = 308,83… ≈ 309 V ≈ 309m3 2) O = 2·G + M 2 π·3,2 2 + 193,01… ≈ 257 O ≈ 257m2 949 D A O I 950 D A O I ZB: r = h = 3m V = π·(3m)2·3m = 27 π m3 Tipp r h Skizze: Arbeitsblatt 69dn9c Nu zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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