211 I 2 Pyramide Regelmäßige sechsseitige Pyramide Von einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide kennt man die Länge der Basiskante a und die Höhe h (➞ Figur rechts). Berechne 1) das Volumen, 2) die Länge der Seitenkante, 3) die Seitenflächenhöhe h1, 4) die Oberfläche der Pyramide! a) a = 3,0 cm b) a = 3,9 cm c) a = 1,0 cm h = 4,0 cm h = 8,0 cm h = 2,4 cm Eine Süßwarenfirma bietet Pralinen an, deren Verpackung die Gestalt einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide hat, wobei die Grundkanten und die Höhe gleich lang sind. Wie groß ist das Fassungsvermögen der Verpackung in Liter? a) a = h = 12 cm c) a = h = 20 cm b) a = h = 15 cm d) a = h = 25 cm Regelmäßiger Oktaeder Eine quadratische Doppelpyramide, bei der alle Kanten gleich lang sind, heißt „regelmäßiger Oktaeder“; also regelmäßiger achtflächiger Körper (➞ Figur rechts). 1) Aus welchen und wie vielen Dreiecken besteht die Oberfläche des regelmäßigen Oktaeders? 2) Leite für seine Oberfläche die Formel O = 2· √ _ 3 · a 2her! 3) Leite für sein Volumen die Formel V = √ _ 2 __ 3 ·a 3 her! Verwende die Formeln von Aufgabe 915! Berechne 1) die Oberfläche, 2) das Volumen eines regelmäßigen Oktaeders mit der gegebenen Seitenkantenlänge! a) a = 37mm b) a = 45mm c) a = 66mm d) a = 1,0m Regelmäßiger Tetraeder Der „regelmäßige Tetraeder“ (regelmäßiger vierflächiger Körper) ist eine regelmäßige dreiseitige Pyramide, deren Seitenkanten genau so lang wie die Grundkanten sind (➞ Figur rechts unten). 1) Aus welchen und wie vielen Dreiecken besteht die Oberfläche des regelmäßigen Tetraeders? 2) Leite für seine Oberfläche die Formel O = √ _ 3 ·a 2her! In jeder regelmäßigen Pyramide liegt der Fußpunkt F der Körperhöhe im Umkreismittelpunkt der Grundfläche. Im regelmäßigen Tetraeder gilt: __ CF= 2 _ 3 · h 1 mit h 1 = √ _ 3 __ 2 ·a Leite daraus die angegebenen Formeln her! 1) Körperhöhe des regelmäßigen Tetraeders: h = √ _ 6 __ 3 ·a 2) Volumen des regelmäßigen Tetraeders: V = √ _ 2 __ 12 ·a 3 Berechne 1) die Oberfläche, 2) das Volumen eines regelmäßigen Tetraeders mit der Seitenkante a! Verwende dazu die Formeln der Aufgaben 917 und 918! a) a = 62mm b) a = 5,4 cm c) a = 10,0 cm d) a = 15,0 cm e) a = 1,0m a a s a h S A B C D E F M s h1 a 2 a 2 913 D A O I 914 D A O I Gleichseitiges Dreieck: h = √ _ 3 __ 2 ·a; A = √ _ 3 __ 4 ·a 2 Tipp M a a a a a a a a A B C D E F 915 D A O I 916 D A O I 1 mono 2 di 3 tri 4 tetra 5 penta 6 hexa 7 hepta 8 okta 9 nona 10 deka Altgriechische Zahlen 917 D A O I A B C a D h a a a a h1 F 918 D A O I 919 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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