A1 Quadratwurzel 21 Gib möglichst genaue Schranken (drei Nachkommastellen) mit Hilfe des Heron’schen Verfahrens (➞ Aufgabe 46) für a) √ __ 20, b) √ __ 54, c) √ __ 90an! Bea meint: „Der Taschenrechner schreibt √ _ 8= 2,828427125 und diese Zahl kann ich schreiben als 2 828 427125 ________ 1 000 000 000. Also ist √ _ 8eine rationale Zahl, weil man sie als Bruch schreiben kann.“ Was entgegnest du dieser Aussage? Welche beiden Ergebnisse sind irrational? Kreuze an und begründe deine Wahl! a) A 3· √ _ 4 B √ __ 18 – 5 C √ __ 17 · √ __ 17 D √ _ 3 – √ _ 3 E √ __ 80 – √ __ 20 b) A √ _ 9 – 3 B 3· √ _ 3 C √ __ 10 + √ __ 10 D ( √ _ 2)2 E √ _ 5 __ √ _ 5 Das linke Quadrat (➞ Abbildung) hat einen Flächeninhalt von 4m2. Wie groß ist die Seitenlänge eines Quadrats, das den doppelten Flächeninhalt hat? Die rechte Figur soll dir bei der Beantwortung dieser Frage helfen. Erkläre diese Figur (➞ Seite 17)! Beweis, dass √ __ n(n * ℕ) eine irrationale Zahl oder eine natürliche Zahl ist Die Quadratwurzel aus zB 2 ist eine irrationale Zahl, da 2 keine Quadratzahl ist. Diese Aussage muss in der Mathematik allerdings bewiesen werden. Für den Spezialfall „2“ bewies dies bereits Euklid von Alexandria (3 Jh. v. Chr.). Ein allgemeiner Beweis folgt aus der Vorüberlegung: Wenn eine Primzahl p ein Produkt von Faktoren teilt, dann muss diese Primzahl mindestens einen Faktor teilen: p 1 a·b w p 1 a oder p 1 b (eine unzerlegbare Primzahl kann ja nicht zu einem Teil in einem Faktor und zum anderen Teil im anderen Faktor enthalten sein!) ZB 2 1 6 = 2·3 w 2 1 2 oder 2 1 3 (2 1 2…wahre Aussage) Beweis: Wenn √ __ n= a _ b(a, b * ℤ + ) gilt, √ __ nalso eine rationale Zahl wäre, dann kann man den Bruch auch so weit kürzen, dass man ggT (a, b) = 1 annehmen kann. Durch Quadrieren und Multiplizieren mit b 2erhält man √ __ n= a _ b w n = a 2 __ b 2 w n· b 2 = a 2. Wenn nun b einen Primteiler p hätte, müsste dieser also das Produkt a·a teilen, und nach der Überlegung oben auch a teilen. Dann könnte man den Bruch a _ bdurch p kürzen, was aber wegen ggT (a, b) = 1 nicht sein kann. Daher kann b keine Primteiler haben und muss 1 sein; dh. wenn die Wurzel aus einer natürlichen Zahl rational ist, muss sie schon eine natürliche Zahl sein: √ __ n= a _ 1= a * N Das ist gleichbedeutend mit: Wenn die Wurzel aus einer natürlichen Zahl nicht selbst eine natürliche Zahl ist (wie bei den Quadratzahlen), dann muss die Wurzel eine irrationale Zahl sein. 1) Führe die Primfaktorenzerlegung für a) 34, b) 35, c) 80 durch! 2) Zerlege die Zahlen a) 34, b) 35, c) 80 in beliebige Produkte und überzeuge dich, dass die Primfaktoren entweder in dem einen Faktor oder im anderen Faktor (oder in beiden) vorkommen! Führe den Beweis oben für den Spezialfall n = 2! Schreibe den Beweis dabei Schritt für Schritt auf und versuche die Erklärungen in eigene Worte zu fassen! 52 D A O I 53 D A O I 2 m 4 m 2 m 4 m ? ? 54 D A O I 55 D A O I 56 D A O I 57 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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