202 Satz des Pythagoras in ebenen Figuren H Kreuze die richtigen Beziehungen an, die im Trapez auftreten (➔ Zeichnung, Aufgabe 841)! A a 2 = e 2 + h 2 C d = √ _____ h 2 + x 2 E c = a – x – y B f = √ _________ (a – y) 2 + h 2 D h = √ ________ f 2 + (c + x) 2 F h = √ _____ b 2 – y 2 Durch den Höhenschnittpunkt eines gleichseitigen Dreiecks sind die Parallelen zu den Seiten gezogen (➞ Figur rechts). a) Beweise, dass die orangen Teilfiguren Rauten sind! b) Beweise, dass die drei Rauten zusammengenommen genau zwei Drittel der Dreiecksfläche ausmachen! In nebenstehender Abbildung ist ein gleichschenkliges Trapez (b = d) dargestellt. Dabei ist a = 10 cm, c = 3 cm und b = 4 cm. a) Berechne die Länge der Diagonale e! b) Berechne, wie viel Prozent die grüne Fläche im Vergleich zum gesamten Trapez einnimmt! Wie viele Waben enthält eine Bienenwachsplatte mit den Maßen 225 × 385mm, wenn eine sechseckige Wabe eine Seitenlänge von ca. 5mm aufweist? Zwei Kreise mit den Mittelpunkten M 1 und M 2 haben die Radien r 1 = 15 cm und r 2 = 20 cm. Wie groß ist der Zentralabstand ____ M 1M 2, wenn die gemeinsame Sehne ___ PQ = 24 cm lang ist? Ein Faden wird gleichmäßig um einen Zylinder (d = 5 cm, h = 15 cm) gewickelt. Der Faden reicht genau fünfmal um den Zylinder herum. Wie lang ist der Faden? Wie hoch darf der Kasten höchstens sein, damit man ihn wie im Bild durch Kippen im Zimmer aufstellen kann? Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC! a) gleichschenkliges Dreieck: c = 5 cm, a = b = 6 cm b) gleichseitiges Dreieck: a = 4 cm c) rechtwinkliges Dreieck: a = 6 cm, p = 5 cm 879 D A O I A C a a a B H 880 D A O I a b c d=b e 881 D A O I M1 M2 P Q 882 D A O I 883 D A O I 884 D A O I 2,50 m 70 cm 885 D A O I 886 D A O I Diagonale des Rechtecks: d = √ _____ a2 + b2 Gleichseitiges Dreieck: h = √ _ 3 __ 2 ·a Diagonale des Quadrats: d = √ _ 2 ·a A = √ _ 3 __ 4 ·a 2 In allen anderen ebenen Figuren wie Dreiecken, Vierecken usw. kann man durch Einzeichnen von Höhen rechtwinklige Dreiecke erhalten. In diesen kann man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras aus den gegeben Größen alle benötigten Längen berechnen. In jedem rechtwinkligen Dreieck gelten Kathetensatz a 2 = c·p, b 2 = c·q und Höhensatz h 2 = p·q. AH S. 69 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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