200 Satz des Pythagoras in ebenen Figuren H4 Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Höhe h und die Länge des Hypotenusen- abschnittes p. Ordne die Seitenlängen den Angaben korrekt zu! 1 h = 120 m, p = 64 m A a = 609 m, b = 841 m, c = 580 m 2 h = 420 m, p = 441 m B a = 780 m, b = 187,2 m, c = 202,8 m 3 h = 72 m, p = 172,8 m C a = 609 m, b = 580 m, c = 841 m D a = 136 m, b = 255 m, c = 289 m E a = 187,2 m, b = 78 m, c = 202,8 m In einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b ist eine Diagonale AC eingezeichnet. Thomas konstruiert nun eine Strecke h, die normal auf die Diagonale steht und durch den Eckpunkt D geht. Dadurch wird die Diagonale in zwei Abschnitte d 1 und d 2 unterteilt. 1) Fertige eine Skizze an, bei der alle auftretenden Längen beschriftet sind! 2) Berechne die Seitenlängen des Rechtecks und dessen Flächeninhalt! a) d 1 = 4,5 cm, d 2 = 8 cm c) d 1 = 153mm, h = 204mm b) d 2 = 28 m, b = 35 m (b > a) d) h = 84dm, a = 140dm (a > b) Bei einem speziellen Drachen ist der Winkel β = δ = 90°. 1) Fertige eine Skizze an! Welche Größen des Dreiecks ACD im Drachen entsprechen den Hypotenusenabschnitten, welche der Höhe? 2) Berechne die fehlenden Seitenlängen und den Flächeninhalt! (x + y = e) a) x = 100 cm, y = 225 cm b) x = 20,2dm, y = 13,3dm Mit dem Höhensatz ergibt sich eine weitere Möglichkeit, Strecken zu konstruieren, deren Länge eine Quadratwurzel ist (➞ Seiten 31, 32). Konstruiere die gegebene Streckenlänge mit Hilfe des Höhensatzes! Miss die konstruierte Länge und vergleiche mit dem Ergebnis des TR! a) √ _ 8cm b) √ __ 12cm c) √ __ 21cm d) √ _ 7cm e) √ __ 13cm Versuche in eigenen Worten auszudrücken, wie in der Figur rechts der Höhensatz mit Hilfe von Flächeninhalten geometrisch gedeutet wird! Beweis des Höhensatzes mit Hilfe des Satzes von Pythagoras 1) Für das Dreieck ΔABC gilt: c 2 = a 2 + b 2. Stelle für die Dreiecke ΔADC und ΔBCD ebenfalls entsprechende Beziehungen auf (a 2 = und b 2 = )! 2) Für die Hypotenuse ergibt sich aus den Hypotenusenabschnitten c = + . 3) Setze für c, a, b die entsprechenden Ausdrücke ein und forme um! 864 D A O I 865 D A O I 866 D A O I 867 D A O I Beispiel √ _ 6cm Fasse die gesuchte Strecke als Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks auf! Nach dem Höhensatz h 2 = p · q gilt zB h 2 = 6 = p · q. Du kannst 3 cm und 2 cm als Hypotenusenabschnitte wählen und das Dreieck mit dem Satz von Thales konstruieren (➞ Figur). Die Höhe h ist √ _ 6 . 2 3 √6 A B C D p p p . q q h2 h 868 D A O I 869 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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