Reelle Zahlen A1 20 1.2 Irrationale Zahlen Lotte hat entdeckt, dass die Wurzel aus einer natürlichen Zahl nur selten wieder eine natürliche Zahl ergibt. In vielen Fällen erhält sie eine Dezimalzahl am Taschenrechner. Für die Wurzel aus Quadratzahlen, also 1, 4, , 16, , …, erhält man immer eine natürliche Zahl als Ergebnis. Für die Wurzel aus 10 erhält Lotte auf dem TR: √ __ 10 ≈ 3,16227766. Als sie die gleiche Rechnung in den TR ihres Computers eintippt, erhält Lotte: √ __ 10 ≈ 3,162277660168379. Welches Ergebnis ist das richtige? Lotte ist sich sicher, dass das Ergebnis ungefähr stimmen muss, denn die Wurzel aus 10 liegt zwischen 3 und 4, also 3 < √ __ 10< 4. Die Zahlen 3 und 4 sind Schranken für √ __ 10. Tatsächlich hat die Quadratwurzel aus 10 unendlich viele Nachkommastellen, die nicht periodisch sind. Der TR und auch der PC geben immer ein gerundetes Ergebnis an, da sie nur eine fixe Anzahl von Stellen (zB 8 oder mehr, aber niemals unendlich viele) anzeigen können. Hinweis Einen Beweis dafür findest du auf Seite 21. Wie lauten die ersten 20 Quadratzahlen? Warum muss die Wurzel aus einer Quadratzahl sicher eine natürliche Zahl sein? Zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt a) √ __ 55, b) √ __ 70, c) √ ___ 120, d) √ ___ 217? Grenze die angegebene Wurzel mit Hilfe einer Ungleichungskette ein! Wurden die Schranken richtig gewählt? Kreuze an! a) A 3 < √ _ 8< 4 B 5 < √ __ 30< 6 C 8 < √ __ 60< 9 D 10 < √ ___ 102< 11 b) A 4 < √ __ 18< 5 B 8 < √ __ 70< 9 C 11 < √ ___ 120< 12 D 13 < √ ___ 176< 14 Die Quadratwurzeln welcher natürlichen Zahlen liegen zwischen den angegebenen Zahlenpaaren? a) 3 und 4 b) 4 und 5 c) 6 und 7 d) 8 und 9 e) 11 und 12 Welche der folgenden Wurzeln kann man genau angeben und bei welchen muss man sich mit einem Näherungswert begnügen? a) 1) √ ____ 1764 2) √ _ 6 3) √ __ 15 4) √ _____ 0,014 4 5) √ ____ 0,144 b) 1) √ ____ 35,12 2) √ _____ 4,9284 3) √ __ 20 4) √ _______ 4,473225 5) √ ___ 1,44 Eine irrationale Zahl hat unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen. Sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder eine natürliche Zahl (Wurzel aus einer Quadratzahl) oder eine irrationale Zahl (Wurzel aus allen anderen natürlichen Zahlen). Irrationale Zahlen 47 D A O I 48 D A O I Beispiel √ __ 33 : 52 = 25, 62 = 36, 5 < √ __ 33< 6 49 D A O I 50 D A O I Beispiel 2 und 3 2 2 < n < 3 2 w 4 < n < 9 w √ _ 5, √ _ 6, √ _ 7, √ _ 8 51 D A O I Arbeitsblatt d9b8d3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=