199 H4 Katheten- und Höhensatz Alina zeichnet in einem rechtwinkligen Dreieck die Höhe h cein. Die Hypotenuse c wird dabei in die beiden Abschnitte p und q unterteilt (➞ Skizze). p und q heißen Hypotenusenabschnitte. Sie sieht, dass die Dreiecke ΔABC, ΔADC und ΔBCD jeweils zueinander ähnlich sind (➞ Aufgabe 859, Figur rechts). Daher stellt Alina folgende Proportionen auf: ΔABC o ΔADC w b = cb w b 2 = c·q ΔABC o ΔBCD w a = ca w a 2 = · Bemerkung: p liegt an der Seite a, q liegt an der Seite b. Alina überlegt, ob sie noch andere Proportionen aus diesen drei ähnlichen Dreiecken aufstellen kann. Aus den beiden kleinen Teildreiecken erhält sie: ΔADC o ΔBCD w hq = h w h 2 = · Von einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längen einer Kathete und des anliegenden Hypotenusenabschnittes gegeben. Berechne die Längen der fehlenden Seiten! a) a = 65mm, p = 25mm c) b = 19,5 cm, q = 11,7cm e) a = 7,6m, p = 6,7m b) b = 60mm, q = 49mm d) a = 0,5m, p = 0,3m f) b = 25,0 cm, q = 6,0 cm Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Länge der Hypotenusenabschnitte. Berechne die Seitenlängen und den Flächeninhalt des Dreiecks! a) p = 18mm, q = 32mm c) p = 11,7cm, q = 20,8 cm e) p = 19mm, q = 67mm b) p = 3,6m, q = 6,4m d) p = 1,44m, q = 0,25m f) p = 45m, q = 13m Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man zwei der Bestimmungsstücke a, b, c, p, q, h, A, r und ρ = a·b ___ u . Berechne die fehlenden Bestimmungsstücke! a) a = 35mm, b = 120mm c) a = 13,6 cm, h = 12,0 cm e) c = 175mm, p = 63mm b) b = 156mm, h = 60mm d) c = 33,8 cm, q = 22,8 cm f) a = 31,0m, A = 224m2 interaktive Vorübung e79a7j AH S. 64 In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC gilt: a 2 = c·p und b 2 = c·q Gesprochen: Quadrat einer Kathete = Hypotenuse mal anliegendem Hypotenusenabschnitt Kathetensatz In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC gilt: h 2 = p·q Gesprochen: Quadrat der Höhe = Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte Höhensatz 861 D A O I Beispiel a = 13,6 cm, p = 6,4 cm Aus a 2 = c·p folgt c = a 2 __ p = 13,6 2 ___ 6,4 = 28,9 c = 28,9 cm mit Hilfe des Satzes von Pythagoras: b = √ _____ c 2 – a 2= 25,5, b = 25,5 cm 862 D A O I 863 D A O I 4 Katheten- und Höhensatz A D B C a b c p q hc = h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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