198 Satz des Pythagoras in ebenen Figuren H3 Umkehrung des Satzes von Pythagoras Für die Seitenlängen des Dreiecks ABC soll gelten: a 2 + b 2 = c 2. 1) Konstruiere ein Dreieck DEF mit den folgenden Angaben: __ EF= a, __ DF= b, ¼ DFE = 90°! Nach welchem Kongruenzsatz ist dieses eindeutig bestimmt? 2) Weil ΔDEF rechtwinklig ist, gilt nach dem Satz des Pythagoras für die Seite x = __ DEdie Gleichung x 2 = a 2 + b 2. Somit folgt, dass x 2 = c 2, also x = c ist, weil Seitenlängen immer positiv sind. Nach welchem Kongruenzsatz ist damit ΔABC kongruent zu ΔDEF? Da ΔDEF rechtwinklig ist, muss also auch ΔABC rechtwinklig sein. Das rechtwinklige Dreieck ABC mit den Seitenlängen a, b, c und dem Flächeninhalt A 1 wird durch die Höhe h in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke mit den Flächeninhalten A 2 und A 3 zerlegt (➞ Figur rechts). Es gilt also A 1 = + 1) Zeige, dass die drei rechtwinkligen Dreiecke zueinander ähnlich sind! 2) Für ähnliche Figuren gilt, dass sich die Flächeninhalte wie die Quadrate einander entsprechender Längenstücke verhalten, dh. A 2 A 1 = a 2 c 2 und A 3 A 1 = b 2 c 2 Drücke aus den beiden Proportionen explizit A 2 bzw. A 3 aus! 3) Setze diese Terme in die Gleichung A 1 = A 2 + A 3 ein und forme so um, dass sich der Satz des Pythagoras ergibt! Klappt man die drei Dreiecke A 1, A 2, A 3 aus Aufgabe 859 nach außen (➞ Figur rechts), so gilt klarerweise, dass die Summe der Flächeninhalte A 2 und A 3 der beiden über den Katheten errichteten rechtwinkligen Dreiecke genau so groß ist, wie der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks A 1 unter der Hypotenuse. Diese Besonderheit gilt auch für die Flächeninhalte beliebiger ähnlicher Figuren, die man über den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks errichtet (➞Figuren unten): Da diese Figuren jeweils zueinander ähnlich sind, kannst du die Terme für die Flächeninhalte A 2 und A 3 aus Aufgabe 859 verwenden. Begründe, dass aus A 2 + A 3 = a 2 __ c 2 · A 1 + b 2 __ c 2 · A 1 der Zusammenhang A 1 = A 2 + A 3 folgt! 858 D A O I A B C a b c h A2 A 3 859 D A O I A B C A2 A3 A1 860 D A O I A B C A 2 A3 A1 A B C A2 A3 A1 A B C A2 A3 A1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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