197 H3 Beweise für den Satz des Pythagoras Um in der Mathematik einen Sachverhalt zu beweisen, reicht es nicht ein anzugeben. Dass bei einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der beiden Kathetenquadrate gleich dem ist, beweist den Satz des Pythagoras noch nicht allgemein. Ein Beweis muss für alle möglichen rechtwinkligen Dreiecke gelten. Für den pythagoreischen Lehrsatz gibt es sehr viele verschiedene Beweise. Ein Beweis stammt von Euklid aus dem 4. Jahrhundert vor Chr.; ein anderer sogar von einem amerikanischen Präsidenten. James A. Garfield hat im Jahr 1875 einen eigenen Beweis für den Satz des Pythagoras gefunden. Im Folgenden sollst du einige Beweise kennenlernen und auch selbst nachvollziehen können. Rechnerischer Beweis Verwende die Figur rechts, um den Satz des Pythagoras zu beweisen! 1) Zeige zunächst, dass der in der Figur eingezeichnete Winkel δ ein rechter Winkel und das blaue Viereck ein Quadrat ist! 2) Begründe dann folgenden Zusammenhang zwischen den Flächeninhalten: A blaues Quadrat = A großes Quadrat – 4· A rechtwinkliges Dreieck 3) Zeige, dass daraus c 2 = a 2 + b 2 folgt! 4) Recherchiere im Internet zum Beweis von Garfield! Wie hängt sein Beweis mit diesem zusammen? Beweis durch „Umlegen“ Die vier rechtwinkligen Dreiecke aus der Figur oben (➔ Aufgabe 855) kannst du auch so wie in der rechten Figur anordnen. Begründe, warum die blauen Quadrate zusammen gleich groß wie das obige blaue Quadrat sein müssen und beweise damit den Satz des Pythagoras! In der 3. Klasse hast du den Schaufelradbeweis (Legebeweis zum Ausschneiden im Anhang) von Henry Perigal für den Satz des Pythagoras kennengelernt. Dazu wird das Quadrat mit Seitenlänge b durch ein „Kreuz“ (zwei rechtwinklige Strecken) in vier Teile geteilt. Der Kreuzungspunkt der Strecken liegt genau im Mittelpunkt des Quadrates. Die vier Teile sind färbig markiert. Sie ergeben gemeinsam die Fläche des Quadrats mit Seitenlänge b. 1) Das Viereck ABDE ist ein Parallelogramm. Gib an, wie lang die beiden parallelen Seiten sind! Verwende dazu die Variablen a, c, x, y! 2) Begründe, warum die freie weiße Fläche im unteren Quadrat genau vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten haben muss! 3) Wie groß ist die Seitenlänge dieses Quadrats? interaktive Vorübung 8tj8m3 AH S. 63 855 D A O I a c b a c b α δ β a c b c a b c2 856 D A O I a c c b a2 b2 a b a b a b a a c c y y x x A B C D E b b 857 D A O I 3 Beweise für den Satz des Pythagoras James A. Garfield (1831–1881) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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