196 Satz des Pythagoras in ebenen Figuren H2 2.6 Regelmäßige Vielecke Hannah sieht im Straßenverkehr sehr häufig das Stoppschild. Auch bei der Kreuzung in ihrer Straße befindet sich dieses achteckige Schild. Dieses hat eine Seitenlänge von 808mm und die längste Diagonale ist 1 045mm lang. Um die Höhe auszurechnen, unterteilt Hanna das Achteck in acht gleichschenklige Dreiecke. Dazu verbindet sie gegenüberliegende Eckpunkte immer durch den Mittelpunkt des Achtecks. Zeichne diese im Bild ein! Für ein solches Dreieck kann sie die Höhe berechnen: h = √ ________ ≈ mm. Die Höhe dieses Verkehrszeichens beträgt also mm. Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs Dreiecken, die sogar sind. Daher ist für Berechnungen im regelmäßigen Sechseck nur eine Längengabe erforderlich. Zeichne ein regelmäßiges Sechseck, das man einem Kreis mit dem Radius r einschreiben kann (➞ Figur rechts)! Berechne den Flächeninhalt des Sechsecks! a) r = 3,0 cm b) r = 45mm c) r = 6,3 cm Drücke a) den Umfang und b) den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks durch die Seitenlänge a aus! Der Boden eines Zimmers mit den Maßen 8,45 m × 6,30 m soll mit 750 sechseckigen Fliesen belegt werden. 1) Wie groß ist der Flächeninhalt einer solchen Fliese ungefähr? 2) Wie groß muss daher etwa seine Seitenlänge sein? Ein Wandspiegel hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks. Berechne den Inhalt der Spiegelfläche, wenn man die Höhe des Spiegels kennt (➞ Figur rechts)! a) h = 24 cm b) h = 38 cm c) h = 56 cm Das links abgebildete blaue Achteck ist einem Quadrat mit der Seitenlänge a eingeschrieben. Von den Eckpunkten des Quadrats wurden Viertelkreisbögen mit dem Radius d _ 2abgeschlagen. Ihre Schnittpunkte mit den Quadratseiten ergeben die Eckpunkte des Achtecks. 1) Konstruiere ein derartiges Achteck! Wähle die Länge der Quadratseite selbst! 2) Beweise, dass die Seiten des Achtecks alle gleich lang sind! 3) Begründe, dass die Innenwinkel des Achtecks alle gleich groß sind und dass man durch die beschriebene Konstruktion ein regelmäßiges Achteck erhält! Martina schneidet von einem quadratischen Blatt Papier die Ecken so weg, dass ein regelmäßiges Achteck entsteht. Der dabei entstandene Abfall ist 1 089cm2 groß. Wie lang sind die Seiten des Achtecks? Regelmäßige Vielecke können in kongruente gleichschenklige Dreiecke zerlegt werden, das regelmäßige Sechseck sogar in kongruente gleichseitige Dreiecke. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lassen sich die Höhen bzw. Diagonalen ermitteln. Regelmäßige Vielecke r r a r α α α = M A B C D E F 849 D A O I 850 D A O I h 851 D A O I 852 D A O I 853 D A O I 854 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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