193 H2 Berechnungen in besonderen Vielecken Von einem Parallelogramm (α < 90°) sind die Längen der Seiten und eine Höhe gegeben. Berechne 1) die Längen der beiden Diagonalen, 2) die fehlende Höhe! a) a = 140mm b) a = 5,1 cm c) a = 10,5 cm d) a = 1,45m b = 85mm b = 8,4 cm b = 14,3 cm b = 0,25m ha = 75mm hb = 4,5 cm hb = 8,4 cm ha = 0,24m Kreuze an, welche Zusammenhänge zwischen den einzelnen Größen im Parallelogramm zutreffen! A a 2 + b 2 = c 2 C e 2 – h a 2 = (a + m) 2 E h a 2 + m 2 = b 2 B ( e _ 2 ) 2 + ( f _ 2 ) 2 = a 2 D h a 2 + (a – m) 2 = f 2 Leite ähnliche Formeln wie im Merkkasten auf S. 192 her, indem du h b © b verwendest! Verwende dazu nebenstehende Figur! Ein Parallelogramm (α < 90°) ist durch drei Bestimmungsstücke gegeben. Berechne 1) die Länge der fehlenden Seite, 2) den Umfang, 3) den Flächeninhalt, 4) die Länge der fehlenden Diagonale! a) b = 68mm b) b = 20,4 cm c) a = 25mm d) a = 6,0 cm e = 156mm f = 30,0 cm f = 145mm f = 14,8 cm ha = 60mm ha = 18,0 cm hb = 24mm hb = 4,8 cm Von rautenförmigen Mosaikplättchen sind die Länge der Seitenkante und die Höhe gegeben. Berechne 1) die Längen der Diagonalen, 2) den Flächeninhalt eines Plättchens! a) a = 25mm b) a = 30mm c) a = 16,9 cm d) a = 17,5 cm h = 24mm h = 24mm h = 12,0 cm h = 16,8 cm Von einer Raute sind der Flächeninhalt und ein weiteres Bestimmungsstück gegeben. Berechne 1) die Länge(n) der Diagonale(n), 2) den Umfang! a) A = 52,8 cm2 b) A = 6144mm2 c) A = 54 cm2 d) A = 414,96dm2 e = 11,0 cm f = 96mm h = 7,2 cm a = 24,7dm Für jedes Parallelogramm gilt der Zusammenhang e 2 + f 2 = 2·( a 2 + b 2). 1) Beweise diesen Zusammenhang! Drücke dazu e 2 und f 2 durch a, b, h aund m aus (➔ Zeichnung, Aufgabe 834)! Setze diese Beziehungen für e und f in die linke Seite der obigen Gleichung ein! Verwende anschließend den Zusammenhang h a 2 = b 2 – m 2! 2) Drücke den genannten Zusammenhang in Worten aus! 834 D A O I Beispiel a = 56mm, b = 34mm, h a = 30mm 1) aus ΔBFC: m = √ _____ b 2 – h a 2 = 16mm mit ΔAFC: e = √ _________ h a 2 + (a+ m) 2= √ ___________ 30 2 + (56 + 16) 2= 78mm mit ΔEBD: f = √ _________ h a 2 + (a – m) 2= √ ___________ 30 2 + (56 – 16) 2= 50mm 2) Es gibt zwei Flächeninhaltsformeln: A = a · h a = 56 · 30 = 1 680mm2; aus A = b · h b w h b = A _ b = 1 680 ___ 34 ≈ 49mm 835 D A O I b a a e f A B C D hb n h b n b 836 D A O I 837 D A O I Gehe wie beim Parallelogramm vor! Tipp 838 D A O I 839 D A O I 840 D A O I a b a e f A B C D ha m m b E F Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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