192 Satz des Pythagoras in ebenen Figuren H2 2.4 Raute und Parallelogramm Ein so genanntes Ziehgitter kann zum Basteln verwendet werden. Durch die rautenförmige Struktur ist es elastisch und widerstandsfähig. Ralf findet in einem Katalog ein Ziehgitter, wobei als Maße einer solchen Struktur die Diagonalenlängen e = 6mm und f = 4mm angegeben sind. Für die Berechnung der Seitenlängen kann er den Satz des Pythagoras verwenden, da die Diagonalen bei der Raute normal aufeinander stehen und einander halbieren: a = √ ___________ ( ___ 2 ) 2 + ( ___ 2 ) 2 = √ _______ + ≈ mm. Im Parallelogramm stehen die Diagonalen im Allgemeinen nicht normal aufeinander. Man benötigt daher für das Konstruieren ein drittes Bestimmungsstück und für Berechnungen andere Überlegungen als bei der Raute. Zeichnet man die Höhe h aso ein, dass sie durch den Eckpunkt C bzw. D geht (➞ Figur rechts), so entstehen zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke ΔA bzw. ΔB . Die Strecke m ist eine Hilfsgröße, die bei Berechnungen im Parallelogramm benötigt wird. Von einer Raute sind die Längen der Seite und einer Diagonale gegeben. Berechne 1) die Länge der anderen Diagonale, 2) den Flächeninhalt, 3) den Inkreisradius ρ = h _ 2! a) a = 37mm b) a = 5,2 cm c) a = 229mm d) a = 30,8 cm e = 70mm f = 4,0 cm e = 442mm f = 20,4 cm Von einer Raute ist die Seitenlänge a und eine Diagonalenlänge gegeben. 1) Ordne die korrekte Höhe zu! 1 a = 5 cm, e = 7cm A h ≈ 3,3 cm D h ≈ 4,8 cm 2 a = 40mm, f = 48mm B h ≈ 1,2 cm E h ≈ 5,4 cm 3 a = 0,8dm, e = 1,49dm C h ≈ 3,8 cm F h ≈ 14,1 cm 4 a = 15,3 cm, f = 17cm 2) Berechne jeweils den Flächeninhalt! Begründe, warum die Hilfsgröße m in beiden Dreiecken ΔAED und ΔBFC gleich lang ist (➞ Parallelogramm oben)! a a a a e f A B C D Da e © f und e, f einander halbieren, gilt in der Raute: a 2 = ( e _ 2 ) 2 + ( f _ 2 ) 2 Raute a b a e f A B C D ha hb m m b E F Da im Parallelogramm h a © a, gilt: e 2 = h a 2 + (a + m) 2 f 2 = h a 2 + (a – m) 2 bzw. b 2 = h a 2 + m 2 Für die Höhe h b gelten ähnliche Beziehungen, da h b © b gilt. Parallelogramm 831 D A O I 832 D A O I 833 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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