190 Satz des Pythagoras in ebenen Figuren H2 1) Zeige, dass der Inkreisradius ρ eines gleichseitigen Dreiecks halb so groß wie der Umkreisradius r ist! Hinweis Spiegle das Dreieck ADM an der Seite AB (➞ Figur rechts)! Welcher Art ist das entstandene Dreieck AM 1M? 2) Begründe damit, dass ρ = 1 _ 3 ·h und r = 2 _ 3 ·h sein muss! 3) Zeige, dass folgende Formeln richtig sind: ρ = √ _ 3 __ 6 ·a und r = √ _ 3 __ 3 ·a Von einem gleichseitigen Dreieck kennt man eine der Größen a oder h. Berechne die andere Größe sowie Inkreis- und Umkreisradius (➞ Aufgabe 819)! a) a = 37mm b) h = 54mm c) a = 7,8 cm d) h = 23,4dm Die Punkte N, M und L liegen auf den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks ABC so, dass NM © BC, ML © AB und LN © AC gilt. Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC beträgt 36 cm2. 1) Begründe, dass das Dreieck LMN gleichseitig ist! 2) Kreuze an, welchen Flächeninhalt das Dreieck LMN besitzt! Begründe! A 9 cm2 B 12 cm2 C 15 cm2 D 16 cm2 E 18 cm2 Kreuze die zwei richtigen Aussagen an und begründe, warum die anderen drei falsch sind! A Jedes gleichseitige Dreieck ist durch die Länge der Höhe eindeutig festgelegt. B Im gleichseitigen Dreieck gilt a2 = c2 + h2. C Jedes gleichschenklige Dreieck ist durch die Länge der Höhe eindeutig festgelegt. D Durch das Einzeichnen einer Höhe zerlegt man jedes spitzwinklige Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke. E Für den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks gilt A = c· √ ______ (a2 – c2). Gegeben sind drei Angaben eines allgemeinen Dreiecks (➞ Zeichnung). Berechne die fehlenden drei Angaben! Überprüfe deine Rechnung durch eine Zeichnung! a) a = 9,1 cm b) c = 8,8 cm c) a = 5,2 cm h c = 3,5 cm b = 7,4 cm x = 2,0 cm y = 8,4 cm x = 1,8 cm y = 3,6 cm Im nebenstehenden stumpfwinkligen Dreieck sind einige Längen mit Variablen bezeichnet (➞ Figur rechts). 1) Gib je eine Formel an, mit der die Seitenlänge s bzw. r explizit ausgedrückt werden kann! 2) Berechne die Seitenlänge r, wenn die Höhe h = 36mm, t = 33mm und s = 60mm sind! Stell dir vor, dass eine a) 1 m, b) 10 m, c) 100 m, d) 1 000 m lange Schnur zwischen einem Anfangs- und einem Endpunkt gespannt auf einer waagrechten Ebene liegt! 1) Eine um 1 m längere Schnur wird an denselben beiden Punkten befestigt und genau in der Mitte senkrecht hochgezogen. Die beiden gespannten Teile der Schnur bilden dann die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks. Wie hoch wird dieses Dreieck? Schätze zuerst und rechne dann! 2) Wie hoch könnte die um 1 m längere Schnur direkt über dem Anfangspunkt der Strecke hochgezogen werden? 819 D A O I 820 D A O I A B L M N C 821 D A O I 822 D A O I A B C a b c x y hc 823 D A O I h m t s r 824 D A O I 825 D A O I A B C M D M1 r ρ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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