182 Satz des Pythagoras in ebenen Figuren H1 Bei einer Fahrradtour im Gebirge sieht Helge das nebenstehende Verkehrszeichen – es zeigt die Steigung eines Straßenstücks an. Helge möchte überprüfen, ob die angegebene Steigung von % stimmt. Mit Hilfe seines Fahrradtachos mit eingebautem Barometer ermittelt er die Länge s = 155 m dieses Anstieges und den Höhenunterschied h = 18 m. Aus der 3. Klasse weiß Helge, dass man die Steigung (bzw. das Gefälle) mit dem Quotienten h __ w = Höhenunterschied ______________ waagrechte Entfernungberechnet. Daher ermittelt Helge mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, der in rechtwinkligen Dreiecken gilt, die waagrechte Entfernung: w = √ _____ s 2 – h 2= √ _____________ – ≈ m. Die Steigung beträgt also h __ w = 18 ___ = ≈ %. Hinweis Der rechte Winkel ist im Folgenden immer beim Eckpunkt C. Von einem rechtwinkligen Dreieck sind zwei Seitenlängen gegeben. 1) Ordne die entsprechende Länge der dritten Seite zu! 2) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Dreiecke! 1 a = 20mm, b = 48mm A 30mm D 52mm 2 a = 24mm, c = 51mm B 58mm E 45mm 3 a = 24mm, c = 74mm C 70mm F 15mm 4 b = 112mm, c = 113mm Verwende die Figur (➞ Satz von Thales, 2. Klasse) und begründe, dass für den Umkreisradius r des rechtwinkligen Dreiecks r = c _ 2gilt! A c B a C b I ρ ρ ρ Im nebenstehenden rechtwinkligen Dreieck sind der Inkreismittelpunkt I und der Inkreisradius ρ eingezeichnet. Das Dreieck ABC setzt sich aus drei Teildreiecksflächen zusammen: A ΔABC = A ΔABI + A ΔBCI + A ΔCAI Daraus ergibt sich a·b ___ 2 = ρ·c ___ 2 + ρ·a ___ 2 + ρ·b ___ 2 . Leite daraus die Formel für den Inkreisradius ρ = a·b ___ u eines rechtwinkligen Dreiecks her! interaktive Vorübung t52b2m AH S. 58 In jedem rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90° gilt: a c A B C b a2 + b2 = c2 É Kurzsprechweise: Kathete a hoch 2 plus Kathete b hoch 2 gleich Hypotenuse c hoch 2 Umgekehrt: Jedes Dreieck, in dem a 2 + b 2 = c 2 gilt, ist rechtwinklig beim Eckpunkt C. c = √ _____ a2 + b2 a = √ _____ c2 – b2 b = √ _____ c2 – a2 Satz des Pythagoras 775 D A O I a b c U r A B C 776 D A O I 777 D A O I 1 Rechtwinkliges Dreieck s h w Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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