H 181 6p493j Video Verfahren zum Auffinden pythagoreischer Zahlentripel In den Themenseiten zum Abschnitt „Lehrsatz des Pythagoras“ in der 3. Klasse (Seite 209) wurde gezeigt, wie Pythagoras aus einer Quadratzahl 9 = 32 die nächst größere gewonnen hat. Das rote Muster zeigt 32 mit 3 Zeilen mit jeweils 3 Punkten. Nun werden jeweils 3 Punkte rechts bzw. oberhalb des Quadratmusters (blau gezeichnet), sowie 1 Punkt in der rechten oberen Ecke (gelb gezeichnet) dazu gefügt. Das Ergebnis ist das Quadratmuster der Quadratzahl 16 = 42. Es wurde also zu den 9 Punkten des Quadrats von 3 die ungerade Anzahl von 7 ( = 2 · 3 + 1) Punkten hinzugefügt. Zu diesen 16 = 42 Punkten werden 9 ( = 2 · 4 + 1) Punkte hinzugefügt, so erhält man die Quadratdarstellung von 52 = 25 usw. Es wird also stets zu einer Quadratzahl x2 die ungerade Anzahl von (2 x + 1) Punkten hinzugefügt, um eine neue Quadratzahl (x + 1)2 zu erhalten. Ist die ungerade Zahl 2 x + 1 eine Quadratzahl zB 49, so ist es möglich, die beiden Quadratzahlen finden, die sich um 49 unterscheiden: 2 x + 1 = 49 É x = (49 – 1)2 = 24 É 24 2 + 49 = 625 = 25 2 É 24 2 + 7 2 = 25 2 Da es unendlich viele ungerade Quadratzahlen gibt, findet man auf diese Weise beliebig viele weitere pythagoreische Zahlentripel! Es hat sich jedoch herausgestellt, dass es noch weitere pythagoreische Zahlentripel gibt, die man mit dem gezeigten Verfahren nicht finden kann. Fermats letzter Satz Pierre de Fermat beschäftigte sich im 17. Jh. damit, ob auch die Summe zweier Kubikzahlen eine dritte Kubikzahl ergeben kann (a3 + b3 = c3) bzw. ob generell a n + b n = c nfür natürliche Zahlen a, b, c gilt. Er stellte bereits damals die Vermutung auf, dass es diese Zahlentripel für n > 2 nicht gibt. Diese „Fermat’sche Vermutung“ beschäftigte die Mathematik 350 Jahre. Erst in den 1990er Jahren bzw. 2000er Jahren gelang es Andrew Wiles und Richard Taylor nachzuweisen, dass die Vermutung von Fermat richtig war. Pierre de Fermat (1601–1665) Sir Andrew J. Wiles (geb. 1953) mit dem Abel Prize Worum geht es in diesem Abschnitt? • Anwenden des Satzes von Pythagoras in ebenen Figuren • Beweise des Satzes von Pythagoras • Katheten- und Höhensatz Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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