167 G2 Länge des Kreisbogens a) Berechne die Länge des Kreisbogens b, wenn der Radius 1 m beträgt und der Zentriwinkel die angegebene Größe hat! 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Zentriwinkel 30° 45° 60° 90° 120° 180° 270° Kreisbogen b b) Begründe, wie du ohne großen Rechenaufwand auf die Länge des Kreisbogens mit den Zentriwinkeln 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° kommst, wenn du die Länge des Umfangs des Kreises kennst! c) Gib die Längen der Kreisbogen aus a) jeweils mit Hilfe von π an! Ein Straßenstück (die Straßenmitte) hat die Form eines Kreisbogens mit einem Radius von 16 m und einem Zentriwinkel von 50° (➞ Figur rechts). Wie lang ist dieses Straßenstück (gemessen in der Mitte)? M α r r b Berechne den Umfang eines Kreissektors (= blaue Linie), von dem der Radius und der Zentriwinkel gegeben sind (➞ Figur links)! a) r = 52mm, α = 35° b) r = 7,8 cm, α = 126° c) r = 18,3 cm, α = 45° d) r = 46,2 cm, α = 164° a) Wie lang ist der Weg, den die Spitze eines 1,35m langen Minutenzeigers einer Turmuhr in 15min zurücklegt? Grazer Uhrturm b) Wie lang ist der Weg, den die Spitze eines 16 cm langen Minutenzeigers einer Wanduhr in 50min zurücklegt? c) Wie lang ist der Weg, den die Spitze eines 12mm langen Sekundenzeigers einer Armbanduhr an einem Tag zurücklegt? Für welchen Zentriwinkel wird jeweils die Bogenlänge berechnet? Umkehraufgaben Von einem Kreisbogen kennt man die Länge b und den Zentriwinkel α. Berechne den Kreisradius! a) b = 53mm, α = 65° c) b = 44,4 cm, α = 81° e) b = 85,7 m, α = 112° b) b = 70mm, α = 112° d) b = 92,8 cm, α = 95° f) b = 125,3 m, α = 150° 707 D A O I 708 D A O I 50° 16 m 709 D A O I 710 D A O I 711 D A O I 1 b = 3 _ 2 π r 2 b = π r 3 b = π _ 3r 4 b = 2 __ 15 π r Beispiel b = 45mm, α = 73° Ü: 40·200 _____ 3·70 = 800 ___ 21 ≈ 40 Umformen der Formel für die Bogenlänge: b = π·α ___ 180 ·r r = b·180 ____ π·α r = 45·180 ____ π·73 = 35,31… ≈ 35 Der Radius beträgt rund 35mm. Skizze: α M r r b 712 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv
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