166 Berechnungen am Kreis G2 David ist bei der Fernsehübertragung eines Leichtathletikbewerbes aufgefallen, dass beim 200-Meter-Lauf und beim 400-Meter-Lauf jeder Läufer von einer anderen Startlinie wegläuft, das Ziel jedoch für alle dasselbe ist. Er weiß, dass sich die Laufbahn aus zwei Halbkreisen und zwei geraden Strecken zusammensetzt. Der Läufer auf der innersten Bahn legt bei einer Runde 2 π· m + 2·84,39 m = m zurück. Der Läufer auf der Außenbahn müsste hingegen für eine Runde weiter laufen. Da jeder Läufer vom Start weg bis ins Ziel in seiner Bahn bleiben muss, wird diese Differenz durch das Anpassen der Startlinie ausgeglichen. Ein Läufer auf der Außenbahn darf um die rot eingezeichnete Strecke weiter vorne starten. David fragt sich, wie viel Meter das sind. Er möchte also die Länge des rot eingezeichneten Kreisbogens berechnen. Zeichne einen Kreis und kennzeichne einen beliebigen Zentriwinkel α (➞ Figur rechts)! Zu jedem Zentriwinkel α gehört ein bestimmter Kreisbogen b. Wird der Zentriwinkel verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht, …, so wird auch der zugehörige Bogen doppelt, dreimal, viermal, … so lang wie der ursprüngliche Bogen b. Die Größe des Zentriwinkels und die Länge des zugehörigen Kreisbogens sind also (direkt) proportional. Zentriwinkel Bogenlänge ganzer Kreis 360° 2 π·r Halbkreis 180° 2 π·r ___ 2 = π·r Viertelkreis 90° 2 π·r ___ 4 = π _ 2 ·r Kreisbogen 1° 2 π ___ 360 ·r = π ___ 180 ·r Kreisbogen α° 2 πα ___ 360 ·r = π·α ___ 180 ·r David recherchiert, dass der Radius der Außenbahn rund 45 m beträgt. Den zugehörigen Zentriwinkel schätzt er mit 60°. Er kann also die Bogenlänge näherungsweise mit π· 45 ____ 180 ·60 = berechnen. Der Läufer darf um rund m weiter vorne starten. Wenn der Zentriwinkel α (in Grad) und der Radius r gegeben sind, kann man demnach die Länge des zu α und r gehörigen Kreisbogens b nach folgender Formel berechnen: Berechne die Länge des Kreisbogens b, von dem der Radius r und der Zentriwinkel α gegeben sind! a) r = 76mm, α = 28° c) r = 41,6 m, α = 101° e) r = 16,3 m, α = 57° 23q b) r = 59 cm, α = 41° d) r = 5,8 m, α = 230° f) r = 10,3 m, α = 317° Hinweis zu e): 57° 23q = 57° + 23° __ 60 = 57,38333…° ≈ 57,38° interaktive Vorübung yb37be AH S. 54 b M r r α α 2·b 2· b = 2 π α ___ 360 ·r = π·α ___ 180 ·r (α in Grad gemessen) Länge des Kreisbogens 706 D A O I 2 Länge des Kreisbogens 84,39 m 36,80 m M Ziellinie Start 400 m Start 200 m Start 1 000 m Arbeitsblatt 5nd2yf Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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