162 Berechnungen am Kreis G1 Die Schülerinnen und Schüler der 4C-Klasse hatten als Hausübung Umfänge und Durchmesser von kreisrunden Gegenständen zu ermitteln. Vier dieser Ergebnisse sind in der Tabelle aufgelistet: Mira fällt auf, dass der Durchmesser und der Umfang der Untertasse jeweils ca. Mal so groß sind wie die des Teelichts. Karim sieht, dass die Werte der Wanduhr ca. 2,5 Mal so groß wie die der sind. Wenn sich Durchmesser und Umfang der Kreise immer im selben Verhältnis ändern, gibt es offenbar einen (direkt) proportionalen Zusammenhang zwischen Durchmesser und Umfang der gemessenen Kreise. Die Schülerinnen und Schüler bilden für jeden der Kreise den Quotienten „UmfangDurchmesser“. Teelicht: , Untertasse: , Frisbee: , Wanduhr: Sie stellen fest, dass bei jedem Kreis der Umfang ungefähr das 3,14-fache des Durchmessers ausmacht. Dieser Wert entspricht dem Proportionalitätsfaktor, der beim Kreis mit π bezeichnet wird. Die Zahl π Wie auf den Themenseiten zu lesen ist, haben bereits in der Antike Mathematiker gewusst, dass ein Zusammenhang zwischen dem Umfang und dem Durchmesser eines Kreises besteht. Sie haben erkannt, dass bei jedem Kreis der Umfang dasselbe Vielfache des jeweiligen Durchmessers ist. Der Umfang des Kreises ist (direkt) proportional zu seinem Durchmesser. Der Proportionalitätsfaktor ( der Quotient u _ d )ist die Zahl π: u _ d= π Bemerkung: π … sprich „pi“, griech. Kleinbuchstabe für „p“ Der Zusammenhang von Umfang und Durchmesser lässt sich mit der folgenden Formel beschreiben: π ist eine irrationale Zahl, dh. sie lässt sich nicht als Bruch darstellen und hat unendlich viele nicht periodische Nachkommastellen. Seit 2019 sind bereits mehr als 31 Billionen Stellen bekannt. Es gibt auf fast allen Taschenrechnern eine Taste für π. Meist wird π mit ca. 8 Nachkommastellen dargestellt. Doch selbst dieser Näherungswert ist für „normale Berechnungen“ zu genau. Führe daher alle Berechnungen, in denen die Zahl π auftritt, zwar mit der vollen Kapazität des TR aus, gib jedoch die Ergebnisse auf so viele Ziffern genau an, wie sie die Angabe aufweist. Für Überschlagsrechnungen im Kopf verwendet man meist den Näherungswert π ≈ 3, beim „händischen“ schriftlichen Rechnen π ≈ 3,14 bzw. π ≈ 3 1 _ 7 = 22 __ 7 . interaktive Vorübung 4h4m95 AH S. 53 Gegenstand Durchmesser Umfang Teelicht 3,9 cm 12,3 cm Untertasse 12 cm 37,8 cm Frisbee 27cm 84,8 cm Wanduhr 30 cm 94 cm d M r u = π·d Weil d = 2 r ist, gilt auch: u = 2 π·r Kurzsprechweise: Umfang = pi mal Durchmesser Umfang des Kreises 1 Umfang des Kreises – die Zahl π („Kreiszahl“) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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