Berechnungen am Kreis G 160 Berechnungen am Kreis 25k4c4 Video Das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises Die Bestimmung des Verhältnisses von Umfang und Durchmesser eines Kreises war lange Zeit eine der größten Herausforderungen der Mathematik. Ägyptische Vermessungsbeamte gaben dieses Verhältnis mit 4434 = 25681 ≈ 3,16 an. Darüber sind wir aus der altägyptischen Abhandlung zu mathematischen Themen, dem Papyrus Rhind, unterrichtet. Babylonische Gelehrte schlugen 3 + 1 _ 8 = 3,125 als Wert dieses Verhältnisses vor. 430 nach Chr. gab der chinesische Mathematiker Tsu Chung Chih eine Abschätzung von π auf 7 Kommastellen genau an: 3,1415926 < π < 3,1415927 Erst der englische Mathematiker William Oughtred (1574– 1630) hat die Bezeichnung π (griechischer Buchstabe p) für das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises wegen des griechischen Wortes „periphereia“ für Umkreis eingeführt. Was wären Berechnungen am Kreis, ohne den Namen Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 vor Chr.) zu nennen. Seine legendären Worte „Störe meine Kreise nicht!“ sind sehr bekannt. Er soll sie zu einem römischen Soldaten gesagt haben, als er gerade geometrische Figuren in den Sand zeichnete. Der Römer war darüber so zornig, dass er ihn erstach. Kupferstich von Matthäus Merian (16. Jh.): Tod des Archimedes im Jahr 212 vor Christus. Was hält Archimedes in dieser Darstellung in der linken Hand? Näherungsweise Berechnung von π nach Archimedes Auf Archimedes geht ein Verfahren zurück, wie man das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises beliebig genau berechnen kann. Er schrieb dem Kreis mit dem Durchmesser d = 1 E regelmäßige Vielecke ein und um. Je mehr Ecken diese Vielecke hatten, desto besser näherten sich ihre Umfänge dem Umfang des Kreises und damit π an (weil der Durchmesser den Wert 1 hat). Eingeschriebenes Quadrat: Diagonale des Quadrats = Durchmesser des Kreises d = 1 ➞ s4 ≈ 0,707 ➞ u4 (innen) = 4·s4 ≈ 2,828 Umgeschriebenes Quadrat: Seite des Quadrats = Durchmesser des Kreises d = 1 ➞ a4 = 1 ➞ u4 (außen) = 4·a4 = 4 Für den Umfang des Kreises bedeutet das: 2,828 < u < 4 Eingeschriebenes Sechseck: Seite des Sechsecks = Radius des Kreises s6 = r = 1 _ 2 ➞ u6 (innen) = 6·s6 = 3 Umgeschriebenes Sechseck: Höhe der Teildreiecke = Radius des Kreises h6 = r = 1 _ 2 ➞ a6 ≈ 0,577 ➞ u6 (außen) = 6·a6 ≈ 3,464 Für den Umfang des Kreises heißt das: 3 < u < 3,464 d s4 a4 r s6 a6 h6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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