Reelle Zahlen A 16 Reelle Zahlen Die Freundschaft von Zahlen Die Griechen der Antike nannten die Welt „Kosmos“, was zugleich „Ordnung“ bedeutet. Ihre Überzeugung war, die Welt sei nach ewig bestehenden Proportionen, den Verhältnissen ganzer Zahlen, errichtet. Diese Sicht führte sogar so weit, dass einige Schüler des Pythagoras meinten, dass auch die Freundschaft zwischen Menschen zahlenmäßig angegeben werden könnte. Dieses Verhältnis glaubten sie in den Zahlen 220 und 248 gefunden zu haben. Denn die Zahl 220 hat abgesehen von sich selbst die Teiler 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110. Die Summe dieser Zahlen ist 284. Die Zahl 284 wiederum hat abgesehen von sich selbst die Teiler 1, 2, 4, 71 und 142. Und die Summe dieser Zahlen ist 220! Daher heißen solche Zahlenpaare heute noch „befreundete“ Zahlen. Freundschaft einmal anders gedacht: Die Zahlen 0 und 8 sind gute Freunde und gehen miteinander spazieren. Plötzlich fragt die Acht: „Warum denkst du, sind wir so gute Freunde?“ Darauf meint die Null: „Tja, wir sind fast gleich. Du hast nur eine viel schmalere Taille.“ Widerspruch zur pythagoreischen Lehre Das Wort „Bruch“ kannten die Pythagoreer nicht, sondern sie sprachen immer von „Verhältnissen“, wofür sie die natürlichen Zahlen brauchten. Sie waren überzeugt, dass diese Verhältnisse immer als Quotienten zweier natürlicher Zahlen darstellbar sind. Ausgerechnet ein Pythagoreer, nämlich Hippasos von Metapont soll es gewesen sein, der zu Beginn des 5. Jahrhunderts vor Chr. als Erster erkannte, dass das Längenverhältnis zwischen der Diagonale und der Seite eines regelmäßigen Fünfecks oder eines Quadrats nicht durch das Verhältnis natürlicher Zahlen, also als rationale Zahl, angegeben werden kann. Da er diese Entdeckung veröffentlichte, wurde er angeblich des Verrates bezichtigt und aus dem Geheimbund der Pythagoreer ausgeschlossen. Hippasos kann also als der Entdecker der irrationalen Zahlen bezeichnet werden, eine Entdeckung, die zu einer „Grundlagenkrise“ in der damaligen griechischen Mathematik führte. Das Bild zeigt ein regelmäßiges Fünfeck und eine seiner Diagonalen. Das Verhältnis der beiden rot markierten Streckenlängen ist nicht rational. Zeichne die anderen Diagonalen des Fünfecks ein! Weißt du noch, wie die nun entstandene Figur genannt wird? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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