F 2 Streumaße 147 2.2 Varianz und Standardabweichung Carina und Tülay vergleichen die Punktezahlen ihrer fünf Mathematik-Schularbeiten. Carina hat die folgenden Punktezahlen erreicht: 48, 48, 44, 32, 28; Tülay: 46, 43, 43, 42, 26 Um die Ergebnisse besser miteinander vergleichen zu können, berechnen sie das arithmetische Mittel und die Spannweite: Da sich weder das arithmetische Mittel noch die Spannweite voneinander unterscheiden, wollen Carina und Tülay noch eine dritte Kennzahl für die Abweichung vom arithmetischen Mittel angeben. Sie wollen die mittlere Abweichung vom Mittelwert berechnen: Carina addiert die einzelnen Differenzen ihrer Punkte vom Mittelwert: 8 + 8 + 4 + (‒8) + (‒12) = 0. Auch bei Tülays Werten ergibt die Summe der entsprechenden Differenzen gleich 0. Durch die unterschiedlichen Vorzeichen heben die Abweichungen vom Mittelwert einander auf. Eine Möglichkeit, die Vorzeichen „loszuwerden“, ist das Quadrieren der Abweichungen. Die durchschnittliche quadrierte Abweichung vom Mittelwert nennt man Varianz. Um wieder dieselbe Einheit wie bei den Ausgangswerten zu erhalten, verwendet man die Quadratwurzel aus der Varianz. Diese wird als Standardabweichung bezeichnet. Sie ist ein weiteres Maß für die Streuung der Werte um den arithmetischen Mittelwert. Hinweis Eine weitere Möglichkeit ist das Verwenden von Beträgen. Das Rechnen mit Beträgen ist jedoch umständlicher. Carina berechnet Varianz und Standardabweichung für die von ihr erreichten Punktezahlen. (48 – 40), (48 – 40), (44 – 40), (32 – 40), (28 – 40)… Abweichungen der Daten vom Mittelwert (48 – 40)2, (48 – 40)2, (44 – 40)2, (32 – 40)2, (28 – 40)2… quadrierte Abweichungen (48 – 40)2 + (48 – 40)2 + (44 – 40)2 + (32 – 40)2 + (28 – 40)2… Summe der quadrierten Abweichungen s2 = (48 – 40) 2 + (48 – 40)2 + (44 – 40)2 + (32 – 40)2 + (28 – 40)2 ________________________________ 5 = 70,4 … durchschnittliche quadrierte Abweichung = Varianz s = √ ____ 70,4 ≈ 8,39 … Standardabweichung 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 Spannweite arithmetisches Mittel Abweichung vom arithmetischen Mittel Die Varianz ist die durchschnittliche quadrierte Abweichung der Daten vom arithmetischen Mittel _ x. Die Quadratwurzel aus der Varianz heißt Standardabweichung. Standardabweichung: s = √ __________________ (x1 – _ x)2 + (x 2 – _ x)2 + … + (x n – _ x)2 __________________ n (x1, x2 … xn Datenwerte) Varianz und Standardabweichung Arithm. Mittel Spannweite Carina 40 Tülay Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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