Statistik F1 140 1.2 Gewichtetes arithmetisches Mittel Lea und Philipp spielen das Ringwurfspiel. Bei diesem Spiel kann man nur 10, 20 oder 50 Punkte erzielen. Lea spielt 10 Mal und erzielt folgende Ergebnisse: 10, 20, 20, 10, 50, 20, 50, 10, 50, 20 Philipp spielt 16 Mal und erreicht die Punktezahlen: 10, 20, 20, 10, 20, 50, 20, 20, 50, 10, 20, 10, 10, 10, 20, 20 Um zu bestimmen, wer besser abgeschnitten hat, kann man das jeweilige arithmetische Mittel in den Zahlenreihen aus den Urdaten berechnen. Das ergibt für Lea ein arithmetisches Mittel _ xvon und für Philipp von . Es gibt aber auch noch eine andere Methode, das arithmetische Mittel zu berechnen. Wir legen dazu eine Häufigkeitstabelle der Ergebnisse an: Absolute Häufigkeiten Relative Häufigkeiten Punkte Lea Philipp Lea Philipp 10 3 6 0,3 0,375 20 4 8 0,4 0,500 50 3 2 0,3 0,125 insgesamt 10 16 1 1 Gewichte Das arithmetische Mittel lässt sich auch mit Hilfe der Häufigkeiten berechnen. Die Häufigkeiten werden dabei als Gewichte bezeichnet. Je häufiger ein Wert vorkommt, umso schwerer wirkt er sich auf den Mittelwert aus, dh. er hat mehr „Gewicht“. Berechnung des arithmetischen Mittels mit Hilfe der absoluten Häufigkeiten Die Summe aller Punktezahlen von Lea ist: 10 + 10 + 10 + 20 + 20 + 20 + 20 + 50 + 50 + 50 = 260 oder kürzer: 3·10 + 4·20 + 3·50 = 260. absolute Häufigkeit (= Gewicht), mit der die einzelnen Werte vorkommen Das arithmetische Mittel können wir auch durch 3·10 + 4·20 + 3·50 ___________ 3 + 4 + 3 berechnen. Dieses so berechnete arithmetische Mittel wird auch gewichtetes arithmetisches Mittel (der Werte 10, 20, 30) genannt. Jeder Wert der Zahlenreihe hat dabei ein Gewicht. Bezeichnen wir die Werte mit x1 x2 … xk und ihre entsprechenden Gewichte (hier: die absoluten Häufigkeiten) mit g1, g2 … gk, so gilt für das arithmetische Mittel _ x: _ x= g 1 x 1 + g 2 x 2 + … + g k x k _____________ g 1 + g 2 + … + g k = g 1 x 1 + g 2 x 2 + … + g k x k _____________ n k ist dabei die Anzahl der verschiedenen aufgetretenen Werte; im Beispiel für Lea und Philipp gleich 3, da die drei Werte 10, 20 und 50 auftreten. Es gilt k ≤ n. n ist die Anzahl aller beobachteten Werte (= Summe aller Gewichte). Im Beispiel für Lea ist n = 10, da sie 10 Mal gespielt hat, und für Philipp ist n = 16, da er 16 Mal gespielt hat. Nur zu Prüfzwecken – E gentum d s Verlags öbv
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