Lineare Gleichungen mit zwei Variablen E2 122 Gleichsetzungsverfahren Bei dem Gleichsetzungsverfahren wird in beiden Gleichungen eine Variable durch die andere ausgedrückt. Die erhaltenen Terme werden gleichgesetzt. Schritt 1: Drücke in beiden Gleichungen zB die Variable x durch die Variable y aus! Schritt 2: Setze die beiden Terme gleich! Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten (y). Schritt 3 und 4: wie bei dem Einsetzungsverfahren I: x = 11 – 35 y II: 2 x + 45 y = 17 2 x = 17 – 45 y x = 8,5 – 22,5 y 11 – 35 y = 8,5 – 22,5 y 2,5 = 12,5 y w y = 0,2 I: x = 11 – 7 w x = 4 ➞ L = {(4 1 0,2)} Hinweis Man kann bei diesem Verfahren auch nicht explizit ausgedrückte Variablen gleichsetzen: I: x + 35 y = 11 ! ‒35 y !·2 w I: 2 x = 22 – 70 y II: 2 x + 45 y = 17 ! ‒45 y w II: 2 x = 17 – 45 y w 22 – 70 y = 17 – 45 y Jetzt kann y berechnet werden. Löse mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens! Führe die Probe durch! a) I: y = x – 3 b) I: v = 3u + 13 c) I: q = 3 p + 4 d) I: a + 2,5b = 12 II: y = 4 x – 18 II: v = ‒u + 5 II: q = 8 + 6p ____ 2 II: 2,5b = 5 a – 1,2 a) Welches dieser Gleichungssysteme kann man besonders leicht mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen? Kreuze an, begründe deine Wahl und löse es! b) Welches dieser Gleichungssysteme kann man besonders leicht mit dem Einsetzungsverfahren lösen? Begründe deine Wahl und löse es! A I: x – y = 5 II: 2 x + 3 y = 21 C I: y = 3 x + 2 II: 2 x – 1 = y E I: 8 x – y = 7 II: 7x + y = 1 B I: x = 5 + y II: 2 y + x = ‒1 D I: 3,5 x – y = 4,7 II: 1,5 x – 12 = 3 y Eliminationsverfahren (Additionsverfahren) Beide Gleichungen werden so umgeformt, dass sich die Koeffizienten einer Variablen nur um das Vorzeichen unterscheiden. Nach Addition der Gleichungen (➞ Illustration rechts) fällt diese Variable weg und man erhält eine Gleichung mit einer Variablen. Bemerkung: to eliminate (engl.) … beseitigen; eliminare (lat.) … beseitigen Schritt 1: Multipliziere die Gleichungen so, dass eine Variable (hier zB x) entgegengesetzt gleiche Koeffizienten erhält! Schritt 2: Addiere die beiden Gleichungen! Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten (y). Schritt 3: Setze die erhaltene Lösung in eine der Gleichungen ein und berechne die andere Variable (x)! I: x + 35 y = 11 ! ·(‒2) II: 2 x + 45 y = 17 I: ‒2 x – 70 y = ‒22 + II: 2 x + 45 y = +17 I + II: ‒25 y = ‒5 y = 0,2 x = 11 – 35·0,2 = 11 – 7 x = 4 ➞ L = {(4 1 0,2)} 527 D A O I 528 D A O I -2x-70y -22 (-2x-70y)+(2x+45y) -22+17 + = I II 2x+45y 17 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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