E2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 121 2.3 Rechnerische Lösungsverfahren Anna und Susanne fotografieren gerne und sind Fans analoger Kameras. Das heißt, dass deren Filme entwickelt werden müssen. Sie sind der Meinung, dass diese Bilder schärfer und besser sind. Im „Verein für analoge Fotografie“ hat Anna für das Entwickeln eines Films und für 35 Fotos insgesamt 11€ bezahlt. Susanne hat zwei Filme entwickeln lassen, wobei ihr 45 Fotos „geglückt“ sind. Misslungene Bilder müssen nicht bezahlt werden. Sie hat im selben Verein 17€ bezahlt. Wie viel Euro kostet in diesem Verein das Entwickeln eines Films? Wie viel Euro kostet ein Foto? Aufstellen des Gleichungssystems: Preis für das Entwickeln eines Films: x Preis für ein Foto: y Anna: I: x + 35 y = 11 Susanne: II: 2 x + 45 y = 17 Für dieses Beispiel ist das graphische Lösungsverfahren nicht gut geeignet, weil man die Lösung nicht gut ablesen kann. In vielen Fällen lässt sich die Lösung eines linearen Gleichungssystems aus einer Zeichnung nur ungenau ablesen (zB wenn die Lösung nicht ganzzahlig ist); rechnerisch kann man sie aber exakt bestimmen. Einsetzungsverfahren Bei dem Einsetzungsverfahren wird in einer der beiden Gleichungen eine Variable explizit ausgedrückt. In unserem Beispiel können wir die Gleichung I leicht nach x umformen (Schritt 1). Der Term, den wir so für x erhalten, wird dann in die Gleichung II eingesetzt (Schritt 2). Schritt 1: Drücke in einer Gleichung die Variable x durch die Variable y aus (oder umgekehrt)! Schritt 2: Setze den für x ermittelten Term in die andere Gleichung ein! Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten (y). Schritt 3: Berechne die Unbekannte y! Schritt 4: Setze die erhaltene Lösung für y in den Term für die Unbekannte x ein und berechne diese! I: x = 11 – 35 y II: 2 ∙ (11 – 35 y) + 45 y = 17 22 – 70 y + 45 y = 17 ! +25 y ! ‒17 = y w y = x = 11 – 35·0,2 = 11 – 7 x = ➞ L = {( | )} Schritt 5: Probe: I: Linke Seite: 4 + 35 ∙ 0,2 = 11 Rechte Seite: 11 II: Linke Seite: 2 ∙ 4 + 45 ∙ 0,2 = 17 Rechte Seite: 17 Man muss in beide Gleichungen einsetzen! Das Entwickeln eines Films kostet , ein Foto kostet . Löse mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens! Führe die Probe durch! a) I: 8 x + 3 y = ‒31 b) I: 9 a + 4 c = ‒4 c) I: 8 u – 7 v = 2 d) I: ‒2 n + 12m = 6 II: x = 2 y + 8 II: a = 4 c – 8 _ 3 II: 7 v = 16 u – 3 II: n – 1 = 2m Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem. Bestimme die Lösungsmenge! a) I: 2 x – 4 y = 25 b) I: 2 x + 3 y = 11 c) I: 2 x + y = 0 II: 2 x + 5 y = ‒29 II: 2 x = y – 1 II: 2 x – 3 y = 4 ‒25 y 525 D A O I 526 D A O I Drücke 2x aus und setze in die andere Gleichung ein! Tipp Arbeitsblatt qu2xh6 Nu zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv
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