Lineare Gleichungen mit zwei Variablen E2 118 2.2 Parameter und Lösungsfälle Max und Frieda fordern einander gerne mit mathematischen Knobeleien heraus. Diesmal hat Frieda eine spezielle Aufgabe für Max: „Ich schreibe eine Gleichung auf und du schreibst auch eine Gleichung auf. Zusammen ergibt das ein Gleichungssystem mit zwei linearen Gleichungen. Wir müssen möglichst schnell entscheiden, ob das System keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat. Der Schnellere gewinnt.“ Natürlich nimmt Max die Herausforderung an. Frieda schreibt auf: Max schreibt auf: x + 2 y = 12 2 x + 4 y = 10 Weißt du die Antwort? Kreuze an! keine Lösung eine Lösung unendlich viele Lösungen Frieda weiß die Antwort sofort. Max ist erstaunt und möchte wissen, wie sie das gemacht hat. Frieda erklärt es mit einem weiteren Beispiel: I: 2·x – 3·y = 4 II: 4·x – b·y = c a, b und c sind die Parameter in der linearen Gleichung a·x + b·y = c. Welche Werte müssen die Parameter b und c der Gleichung II annehmen, damit das Gleichungssystem 1) unendlich viele Lösungen 2) keine Lösung 3) genau eine Lösung hat? 1) Man kann sehen, dass der Koeffizient von x in II doppelt so groß ist wie in I. Wenn alle Parameter verdoppelt werden, man also mit einer Äquivalenzumformung die zweite aus der ersten Gleichung erzeugen kann, sind die beiden zugehörigen Geraden ident und das System hat unendlich viele Lösungen. I: 2 ·x – 3 ·y = 4 ·2 ·2 ·2 II: 4·x – b·y = c w II muss daher so aussehen: 4 x – 6 y = 8 2) Damit ein Gleichungssystem keine Lösung hat, müssen die zugehörigen Geraden parallel sein. Das ist der Fall, wenn zwar die Koeffizienten von x und y jeweils dieselben Vielfachen voneinander sind, der Parameter c jedoch nicht dieses Vielfache von 4 ist! I: 2 ·x – 3·y = 4 ·2 ·2 nicht·2! II: 4·x – b·y = c w II muss demnach so aussehen: 4 x – 6 y = c mit c ≠ 8 Man kann zum Beispiel c = 7 wählen: 4 x – 6 y = 7 3) In allen anderen Fällen (dh. b ≠ 6) hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. Hinweis Wenn man beide Gleichungen auf die Form y = k x + d bringt (bei b ≠ 0 möglich), so ist die Entscheidung einfacher (➞ Aufgabe 518). Gib Bedingungen für die fehlenden Parameter so an, dass das Gleichungssystem 1) unendlich viele, 2) keine Lösungen 3) genau eine Lösung hat. a) I: 8 x + 3 y = ‒31 b) I: 9 x + 4 y = c c) I: a x – 7y = 2 II: a x – 6 y = c II: 3 x + b y = ‒4 II: ‒x + 7y = c Gegeben ist ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen. I: 2 x + 3 y = 7; II: 3 x + by = c mit b, c * R Ermittle diejenigen Werte für b und c, für die das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat! 511 D A O I 512 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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