Lineare Gleichungen mit zwei Variablen E1 114 1.2 Lösungsmenge graphisch darstellen Links siehst du Lösungspaare für die Gleichung 2 x + y = 11. Trage die Punkte der Tabelle in das Koordinatensystem ein und du wirst sehen, dass sie alle auf einer Geraden liegen! Durch Umformen kann man die Gleichung in eine bekannte Form bringen: 2x + y = 11 w y = ‒2x + 11 . Die Gerade hat die Steigung k = und den Abschnitt auf der y-Achse d = . Da die Gleichung linear ist, ist der Graph für x, y * R eine Gerade mit unendlich vielen Punkten. Alle Punkte (x 1 y) dieser Geraden erfüllen die Gleichung 2 x + y = 11. Die Gerade g ist die graphische Darstellung der Lösungsmenge der linearen Gleichung mit zwei Variablen. Wir schreiben: L = {(x 1 y); x, y * ℝ 1 y = ‒2 x + 11} Gesprochen bedeutet das: „L ist die Menge aller reellen Zahlenpaare (x 1 y), für die gilt: y = ‒2 x + 11.“ Mögliche Lagen von Geraden Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen x und y (x, y * R) hat die Form: a x + by = c (a, b, c * R; a, b nicht beide null). Die Veranschaulichung der Lösungsmenge ergibt eine Gerade. Bei einer linearen Gleichung mit zwei Variablen sind folgende Fälle möglich: Allgemeine Form: a x + by = c a ≠ 0, b ≠ 0 Gleichung mit zwei Variablen x und y. Der Graph ist eine Gerade. Wenn c = 0 ist, verläuft die Gerade durch den Ursprung. Sonderfall 1: b·y = c a = 0, b ≠ 0 Gleichung mit einer Variablen y. Der Graph stellt eine Parallele zur x-Achse dar. Wenn c = 0 ist, stellt die Gerade die x-Achse dar. Sonderfall 2: a·x = c a ≠ 0, b = 0 Gleichung mit einer Variablen x. Der Graph stellt eine Parallele zur y-Achse dar. Wenn c = 0 ist, stellt die Gerade die y-Achse dar. Es liegt keine Funktion vor! Ordne a) den Geraden bzw. b) den Gleichungen die möglichen Fälle A, B oder C zu! A allgemeine Form B parallel zur x-Achse C parallel zur y-Achse a) 1 y = 1 _ 3x – 1 2 2 x = 3 3 12 y = 7 b) 1 x y 1 -1 -2 2 3 0 1 -2 -1 2 3 4 2 x y 1 -1 -2 2 3 0 1 -2 -1 2 3 4 3 x y 1 -1 -2 2 3 0 1 -2 -1 2 3 4 x y 1 9 3 5 4 3 5 1 x y 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Interpretiert man die Lösungen als Punkte, liegen alle auf einer Geraden. Umgekehrt ist das Koordinatenpaar jedes Punktes der Geraden Lösung der Gleichung. Die Gerade kann parallel zur x-Achse sein (a = 0, b ≠ 0). Sie kann auch parallel zur y-Achse sein (a ≠ 0, b = 0), ist dann jedoch keine Funktion y = f(x). Wenn keiner dieser Sonderfälle vorliegt, spricht man von der allgemeinen Form (a, b ≠ 0). Graphische Darstellung linearer Gleichungen 496 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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