Lineare Gleichungen mit zwei Variablen E1 112 1.1 Lösungen und Lösungsmenge Nikola veranstaltet eine Geburtstagsparty. Er möchte Knabbergebäck und Kuchen für seine Gäste einkaufen und dafür 24€ ausgeben. Der Kuchen kostet pro Stück 3€, das Knabbergebäck pro Packung 2€. Er überlegt: „Wenn ich nur Kuchen kaufe, könnte ich Stück kaufen. Oder ich kaufe nur Knabbergebäck – da gingen sich Packungen aus. Wenn ich aber nur 6 Stück Kuchen kaufe, könnte ich auch noch Packungen Knabbergebäck bekommen. Gibt es noch andere Möglichkeiten, meine 24€ auszugeben?“ Damit er keine Möglichkeit vergisst, stellt Nikola eine Gleichung auf. Er schreibt x für die unbekannte Anzahl der Kuchen (den Preis dafür berechnet man mit ). Für die unbekannte Anzahl der Packungen Knabbergebäck verwendet er y (Preis: ) und erhält folgende Gleichung: 3 x + 2 y = 24 Lösung einer linearen Gleichung mit zwei Variablen – Lösungsmenge Jede Lösung einer solchen Gleichung mit zwei Variablen besteht aus zwei Zahlen, einem Wert für x und einem Wert für y. Wie bei Punkten im Koordinatensystem schreiben wir eine solche Lösung als geordnetes Zahlenpaar (x 1 y). Zum Beispiel ist (6 1 3), also x = 6 und y = 3, eine Lösung der Gleichung, weil 6·3 + 3·2 = 24 ist. 6 Stück Kuchen und 3 Packungen Knabbergebäck kosten zusammen 24€. Eine Gleichung mit zwei Variablen hat im Allgemeinen mehrere Lösungen. Die Menge aller Zahlenpaare (x 1 y), die die Gleichung erfüllen, heißt Lösungsmenge der Gleichung. Ermittle nun alle Lösungen, die für unser Beispiel sinnvoll sind, dh. die Menge natürlicher Zahlenpaare, die Lösungen der Gleichung 3 x + 2 y = 24 sind! Da man Knabbergebäck und Kuchen nur in ganzen Packungen kaufen kann, sind hier nur natürliche Zahlenpaare sinnvoll. Ergänze und achte darauf, dass der x-Wert links und der y-Wert rechts steht! Lösungsmenge: L = {(0 1 12), (2 1 ), ( 1 6 ), (6 1 ), (8 1 )} Reelle Lösungen Nehmen wir nun an, dass in der Gleichung 3 x + 2 y = 24 beide Variablen nicht nur für natürliche, sondern auch für reelle Zahlen stehen. Durch Einsetzen beliebiger Werte für x (bzw. y) in die Gleichung können die jeweils zugehörigen Werte für y (bzw. x) berechnet werden. Überprüfe, ob die Zahlenpaare zur Lösungsmenge der angegebenen Gleichung gehören! a) 2 x – y = 10; (0 1 ‒10), (3 1 4), (‒2 1 ‒14), (5 1 0) c) ‒x + 4 y = 17; (1 1 5), (‒9 1 2), (‒1 1 4), (‒11 1 1,5) b) x _ 2 + 2y = 5; (0 1 1), (10 1 0), (2 1 0,5), ( ‒ 1 _ 2 1 5 _ 4 ) d) 5 x – y ____ 3 = 6; (‒1 1 ‒8), (11 ‒13), (0 1 9), (2 1 ‒8) interaktive Vorübung wf24f3 AH S. 36 Die Menge aller geordneten Zahlenpaare (x 1 y), die eine lineare Gleichung a x + b y = c erfüllen, heißt Lösungsmenge der Gleichung (a, b, c * R, a ≠ 0 oder b ≠ 0). Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen hat unendlich viele reelle Zahlenpaare als Lösung. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 483 D A O I 1 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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