D4 Weitere Funktionstypen 103 4.2 Rationale Funktionen Mario zieht in eine neue Wohnung. Er hat 48 Umzugskartons gepackt und diese müssen jetzt in den LKW. Bei jedem Weg von der Wohnung zum LKW kann er einen Karton tragen. Wie oft muss zum LKW gegangen werden, wenn 1) er alleine ist 2) er einen Freund eingeladen hat 3) ihm drei Freunde helfen 4) 6 Träger arbeiten ? Diese Fragestellungen sind schon von den indirekt proportionalen Zusammenhängen bekannt. Der Zusammenhang lautet: Anzahl der Wege = 48 ___________ Anzahl der Träger w y = 48 __ x Allgemein gilt: Steht bei einem Funktionsterm f (x) die unabhängige Variable auch im Nenner, so spricht man von einer (gebrochen) rationalen Funktion. In solche Funktionen darfst du nicht jede beliebige reelle Zahl für die unabhängige Variable einsetzen, da der Nenner nicht 0 werden darf (Es ist zB sinnlos, die Frage zu stellen, wie oft bei Marios Umzug zum LKW gegangen werden muss, wenn keiner geht! l). Die nebenstehende Figur zeigt den Graphen der Funktion f: y = 48 __ x (x ≠ 0). Da im Nenner nicht null stehen darf, schreibt man in diesem Fall nach der Funktionsgleichung (x ≠ 0). Für Marios Beispiel ist nur der positive „Ast“ mit den Punkten A, B, C und D der Hyperbel relevant, da die Anzahl der Träger positiv ist. 1) Vervollständige die Wertetabelle der Funktion f: y = 1 _ x! 2) Zeichne die Wertepaare in ein Koordinatensystem und verbinde sie mit einer möglichst „glatten“ Kurve! ‒5 ‒4 ‒3 ‒2 ‒1 ‒0,5 ‒0,2 0,2 0,5 1 2 3 4 5 Lies die Aussagen über die rationale Funktion f: y = 1 _ x! Kreuze die richtigen Aussagen an und stelle falsche richtig! A Für negative x gilt: Wenn x zunimmt, dann nimmt y ab. B Für positive x gilt: Auch wenn x immer größer wird, dann wird y nie 0. C Wenn x kleiner als 0 ist, dann ist y negativ. D Wenn x größer als 1 ist, dann ist auch y größer als 1. E Wenn x kleiner als ‒1 ist, dann ist auch y kleiner als – 1. x y 10 -10 -30 -40 -20 20 40 50 30 0 1 -1 -6 -5 -4 -3 -2 2 3 4 5 6 A B C D Funktionen der Form y = k _ x(k, x ≠ 0) sind (gebrochen) rationale Funktionen. Die Graphen solcher rationaler Funktionen heißen Hyperbeln. Rationale Funktionen 448 D A O I 449 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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