Das ist Mathematik 3, Schulbuch

Potenzen C 2 62 Agnes betrachtet ein rechteckiges Feld mit der Länge a = 125m und der Breite b = 25m. Bevor sie für die Berech- nung des Flächeninhalts diese beiden Zahlen multipliziert, überlegt sie: 125 = 5 3 ; 25 = 5 2 . Also ist der Flächeninhalt A = 5 3 · 5 2 m 2 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 m 2 = 5 m 2 = m 2 . Sie überprüft, indem sie 125 · 25 = rechnet. Produkte bzw. Quotienten von Potenzen mit gleicher Basis können vereinfacht werden, zB: 3 2 · 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3 6 bzw. a 2 · a 3 = a · a · a · a · a = a 5 3 4  3 2 = 3 · 3 · 3 · 3 _____ 3 · 3 = 3 · 3 = 3 2 bzw. a 3  a 2 = a · a · a ____ a · a = a Produkte bzw. Quotienten von Potenzen mit ungleicher Basis lassen sich in dieser Weise nicht weiter vereinfachen . Durch das Ausschreiben lässt sich auch herausfinden, wie eine Potenz selbst potenziert wird. ZB: ( 2 3 ) 2 = 2 3 · 2 3 = 2 6 bzw. ( a 2 ) 5 = a  2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 = a 10 Natürlich kann man Produkte auch potenzieren , zB: ( a · b ) 2 = ( a · b ) · ( a · b ) = a 2 · b 2 . Agnes überlegt weiter: „Wenn ich eine quadratische Fläche mit einer Seitenlänge von 3 _ 4 dm betrachte – wie groß ist dann der Flächeninhalt?“ ( 3 _ 4 ) 2 = 3 _ 4 · 3 _ 4 = 3 2 __ 4 2 = ___ . Sie überprüft in Dezimalschreibweise: 3 _ 4 dm = dm ➞ A = 0, 2 dm 2 = dm 2 Stimmen die berechneten Werte für den Flächeninhalt überein? Aus diesen Überlegungen ergeben sich folgende Rechenregeln: Potenzen multiplizieren/dividieren Setze die richtigen Hochzahlen in die Lücken ein! a) 4 · 4 3 · 4 · 4 2 · 4 5 = 4 b) 5 11 · 5 3 · 5 · 5 2 = 5 c) 6 4 · 6 · 6 · 6 7 = 6 a) 4 · 3 · 4 2 = 3 · 4 b) 5 2 · 2 · 2 4 · 5 3 = 2 · 5 c) 3 2 · 3 · 7 4 · 7 2 = 3 · 7 interaktive Vorübung nc46jn AH S. 20 Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren a m · a n = a m + n Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Hochzahlen addiert. Potenzen mit gleicher Basis dividieren a m __ a n = a m − n ( a ≠ 0, m > n ) Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Hochzahlen subtrahiert. Potenzieren eines Produktes ( a · b ) n = a n · b n Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor einzeln potenziert. Potenzieren eines Quotienten ( a _ b ) n = a n __ b n (b ≠ 0) Eine Bruchzahl wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert. Potenzen potenzieren Potenzen werden potenziert, indem man die Hochzahlen multipliziert. ( a m ) n = a m · n Rechenregeln für Potenzen (m, n * Z + ) 249 D A O I 250 D A O I 2 Rechnen mit Potenzen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv