Das ist Mathematik 3, Schulbuch

C1 Einführung der Potenzen 61 Die Potenz einer negativen Zahl ist eine positive Zahl , wenn ihre Hochzahl gerade ist. Die Potenz einer negativen Zahl ist eine negative Zahl , wenn ihre Hochzahl ungerade ist. Potenzieren negativer Zahlen Hinweis Das Potenzieren hat Vorrang gegenüber der Punkt- und Strichrechnung. Berechne ohne Taschenrechner! a) 2 8 b) 3 5 c) 5 4 d) 4 6 e) 6 4 f) 10 8 g) 7 4 h) 9 4 Stelle in Potenzschreibweise dar! a) 2 · 3 · 2 · 2 · 3 = c) 10 · 14 · 14 · 14 · 10 = e) ​ ( ‒ 2 ) ​ · 5 · 5 · 5 ·​ ( ‒ 2 ) ​ ·​ ( ‒ 2 ) ​ ·​ ( ‒ 2 ) ​ = b) 4 · 7 · 4 · 7 · 7 · 7 = d) ( ‒ 8) · ( ‒ 8) · ( ‒ 8) · 5 = f) ​ ( ‒ 1 ) ​ ·​ ( ‒ 1 ) ​ ·​ ( ‒ 1 ) ​ · 4 · 4 ·​ ( ‒ 1 ) ​ ·​ ( ‒ 1 ) ​ = Berechne die Ergebnisse! a) 3 · 4 2 – 4 · 3 2 = c) 5 · 4 3 – 4 · 3 4 = e) 6 · 2 3 – 3 2 · 5 = g) 5 · 3 3 – 7 · 4 2 = b) 5 · 2 3 + 2 2 · 5 = d) 3 · 5 2 – 5 · 3 2 = f) 7 2 · 5 + 2 · 3 2 = h) 8 2 · 3 + 2 5 · 3 = a) 2 3 + ( ‒ 2) 3 = c) 2 3 – ( ‒ 2) 3 = e) ‒ 2 3 + ( ‒ 2) 3 = g) ( ‒ 2) 3 – ( ‒ 2) 3 = b) 5 2 – ( ‒ 5) 2 = d) ‒ 5 2 + ( ‒ 5) 2 = f) ‒ 5 2 – ( ‒ 5) 2 = h) ( ‒ 5) 2 + ( ‒ 5) 2 = Kreuze an, wenn das Ergebnis negativ ist! A ​ ( ‒ 3 ) ​ 4 ​ B ​ ( ‒ 1 ) ​ 3 ​ ·​ 7​ 2 ​ = C ​ ( ‒ 5 ) ​ 2 ​ ·​ ( ‒ 3 ) ​ 2 ​ D ​8​ 2 ​ ·​ ( ‒ 2 ) ​ 1 ​ E = ‒​ 2​ 4 ​ Schreibe jeweils die Primfaktorenzerlegung mit Hilfe der Potenzschreibweise! a) 24 c) 108 e) 48 g) 144 i) 420 k) 1 575 m) 3 072 b) 36 d) 32 f) 96 h) 288 j) 392 l) 1 800 n) 3 960 Berechne die Zahlen 2​ ​ n ​ – 1 für n = 2, …, 10! Welche dieser Zahlen sind Mersenne-Primzahlen ? Wenn ​2​ n ​ – 1 eine Mersenne-Primzahl ist, dann ist ​2​ n−1 ​ ·​ ( ​ 2​ n ​ – 1 ) ​eine vollkommene Zahl . Überprüfe dies für n = 2, 3 und 5! 241 D A O I Beispiel 2 10 = 2 · 2 · … · 2 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 16 · 16 · 4 = 256 · 4 = 1 024 10-mal 242 D A O I 243 D A O I 244 D A O I Beispiel 1) ‒ 2 3 – ( ‒ 2) 3 = ‒ 8 – ( ‒ 8) = ‒ 8 + 8 = 0 2) ‒ 1 6 – ( ‒ 1) 6 = ( ‒ 1) – ( + 1) = ( ‒ 1) – 1 = –2 245 D A O I D A O I 246 Beispiel 1) 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 3 · 3 2 · 5 2) 6125 = 5 · 5 · 5 · 7 · 7 = 5 3 · 7 2 Eine Zahl der Form ​2​ n ​ – 1 (n = 2, 3, 4, …) heißt Mersenne-Zahl. Ist eine Mersenne-Zahl eine Primzahl, so nennt man diese Mersenne-Primzahl . In diesem Fall muss der Exponent n ebenfalls eine Primzahl sein. Vollkommene Zahl Eine Zahl heißt vollkommen, wenn die Summe der Teiler (ohne die Zahl selbst) wieder die Zahl ergibt. Mersenne-Primzahl 247 D A O I 248 D A O I Nur zu Prüfzweck n – E gentum des Verlags öbv