Das ist Mathematik 3, Schulbuch

258 Ähnlichkeit L 4 Der goldene Schnitt Die Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … spielt in der Natur eine wichtige Rolle. Sie wurde nach dem italienischen Mathematiker Leonardo da Pisa (ca. 1170 – ca. 1250) „Fibonacci-Folge“ benannt ( ➞ Seite 141). 1) Versuche zu erkennen, wie eine Zahl der Folge aus den vor ihr stehenden Zahlen entsteht! Wie lauten die nächsten drei Zahlen? 2) Berechne für je zwei aufeinander folgende Zah- len das Verhältnis der größeren zur kleineren Zahl! Du kannst erkennen: Je höher die Zahlen werden, desto mehr nähert sich dieses Verhält- nis der Verhältniszahl 1,618… des Goldenen Schnittes ( ➞ Infokasten). Das Verhältnis der Seiten eines Rechtecks soll dem Goldenen Schnitt ( ➞ Infokasten) entsprechen. a) Wie groß ist die Länge a dieses Rechtecks un gefähr, wenn die Breite b = 5 cm ist? b) Rund welche Breite b hat das Rechteck, wenn die Länge a = 10 cm ist? Überprüfe die Behauptung durch Rechnen! a) Die Vorderfront des Parthenons auf der Akro polis von Athen ist 30,6m lang und 18,9m hoch. Man sagt, diese Front ist nach dem Goldenen Schnitt gebaut worden. b) Die Kuppel des Domes in Florenz ist 32,1m hoch. Der Kuppelansatz befindet sich in 51,9m Höhe. Man sagt, der Kuppelansatz teilt die Gesamthöhe nach dem „Goldenen Schnitt“ ( ➞ Infokasten). 1055 D A O I Der Goldene Schnitt Ein Seitenverhältnis besonderer Art ist der so genannte „Goldene Schnitt“. Wenn in einem Rechteck die Beziehung b  a = a  (a + b) gilt, hat das menschliche Auge die Empfindung besonderer Ausgewogenheit. Schon die großen Baumeister der Antike kannten die- ses Ebenmaß. ZB wurde der Parthenon auf der Akropolis in Athen danach gebaut. Das Seitenverhältnis der Länge a zur Breite b eines Rechtecks im „Goldenen Schnitt“ ist ungefähr 1,618  1. Der goldene Schnitt 1056 D A O I 1057 D A O I Zwei Vielecke (Dreiecke, Vierecke, …) heißen ähnlich, wenn gilt: 1) Entsprechende Längen stehen zueinander im gleichen Verhältnis . 2) Entsprechende Winkel sind gleich groß . Bei Dreiecken gilt: Wenn eine dieser beiden Bedingungen erfüllt ist, so ist die andere automatisch auch erfüllt. In allen ähnlichen Figuren gilt für die Flächeninhalte: Die Flächeninhalte verhalten sich wie die Quadrate ent sprechender Längen. Strahlensatz: 1. __ SA  __ SB = __ SC  __ SDbzw. __ SA  __ AB = __ SC  __ CD „Strahl-Strahl“ 2. __ SA  __ SB = __ AC  ___ BDbzw. __ SC  __ SD = __ AC  ___ BD „Scheitelstrecken auf Strahl – parallele Geraden“ AH S. 75 g h b a A B C D S Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv