Das ist Mathematik 3, Schulbuch

247 L1 Ähnliche Figuren Ähnliche Dreiecke Wenn bei Dreiecken eine der beiden Bedingungen erfüllt ist, dann ist zwangsläufig die andere auch erfüllt. Es genügt also, bei Dreiecken nur eine der Bedingungen zu überprüfen , wenn man entscheiden will, ob sie ähnlich sind. Hinweis Für einen (hier nicht erbrachten) Beweis dieses Satzes muss man sich genauer mit „zentrischen Streckungen“ beschäftigen. Das sind geometrische Abbildungen, die ausgehend von einem „Zentrum“ (zB die Lichtquelle) Figuren in einem gewissen Verhältnis vergrößern oder verkleinern. Beschreibe mit eigenen Worten, warum es sich hier nicht um ähnliche Figuren handelt, obwohl bei 1) alle Winkel übereinstimmen und bei 2) die Seitenlängen gleich sind! 1) A B C D 2) a b A B C D Um welche Vierecke handelt es sich bei den rechts dargestellten Figuren? Warum sind die beiden Vierecke nicht ähnlich? Welche Beziehung für ähnliche Figuren ist er- füllt, welche ist nicht erfüllt? Berechne die nicht bekannte Seitenlänge der ähnlichen Figur! a) a 1  a = 5  2, a = 8 cm d) d  d 1 = 2  3, d = 6 cm b) b 1  b = 3  4, b = 8 cm e) e  e 1 = 1  7, e = 4 cm c) c  c 1 = 3  5, c = 18 cm f) f 1  f = 1  10, f = 2,5 cm Gegeben ist ein Vieleck und gesucht ist das dazu ähnliche Vieleck. 1) Berechne alle Seitenlängen des ähnlichen Vielecks, wenn a 1  a = 2  3 gilt! 2) Konstruiere die beiden Vielecke und miss alle Winkel, um deine Rechnung zu überprüfen! a) Rechteck: a = 9 cm, b = 6 cm c) Dreieck: a = 3,6 cm, b = 6 cm, c = 9 cm b) Rechteck: a = 4,5 cm, b = 8,1 cm d) Dreieck: a = 4,8 cm, b = 4,2 cm, c = 8,4 cm 1) Konstruiere das Dreieck mit a = 6 cm, c = 8 cm, β = 60°! 2) Zeichne zu diesem Dreieck ein ähnliches mit ​c​ 1 ​ = 4 cm! Zwei Dreiecke sind ähnlich ​ ¶ ​ 1 ​ ~ ​ ¶ ​ 2 ​, wenn 1) einander entsprechende Winkel gleich groß sind oder 2) einander entsprechende Längenstücke zueinander im gleichen Verhältnis stehen. Ähnliche Dreiecke 1005 D A O I A B C D a b = a A B C D a b A B C D A B C D b 1 = a 1 a 1 β 1 α 1 1006 D A O I 1007 D A O I Bei Verhältnisgleichun- gen („Proportionen“) gilt: „Außenglied mal Außenglied = Innenglied mal Innenglied“ Tipp Beispiel x  x 1 = 5  7, x = 10 cm 10  x 1 = 5  7 w 70 = 5 x 1 w x 1 = 14 cm 1008 D A O I 1009 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv