Das ist Mathematik 3, Schulbuch

238 Körper K3 3.2 Oberfläche und Volumen Oberfläche der Pyramide Die Oberfläche einer Pyramide setzt sich aus der Grundfläche und der Mantelfläche zusammen. (O = G + M) Der Inhalt der Grundfläche muss je nach Form der Pyramide berechnet werden (Dreieck, Viereck, …, n-Eck). Der Mantel regelmäßiger Pyramiden besteht aus deckungsgleichen (kongruenten) gleichschenkligen Dreiecken . Ihren Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Seitenflächenhöhe h 1 berechnen. Die Pyramide rechts hat die Maße a = 3 cm und h 1 = 4 cm. Der Inhalt der Mantelfläche ist daher: M = a · h 1 ___ 2 · 4 = 2 · a · h 1 = 2 · · = ➞ M = cm 2 Man muss zwischen der Seitenflächenhöhe h 1 und der Höhe h der Pyramide unterscheiden. Bei dieser regelmäßigen vierseitigen Pyramide kann man wegen des rechten Winkels den Satz des zu Hilfe nehmen und die jeweils andere Höhe ausrechnen: h 2 = h 1 2 – ( a _ 2 ) 2 Volumen der Pyramide Eine Verpackungsfirma stellte früher Milchpäckchen in Pyramidenform her ( ➞ Bild rechts). Durch einen Versuch kann man feststellen, dass in ein prismenförmiges Gefäß mit derselben Grundfläche und Höhe etwa dreimal so viel Milch passt wie in die Pyramide. Das Experiment lässt vermuten, dass für das Pyramidenvolumen gilt: V = G · h ___ 3 Die Figur rechts unten zeigt dieses Ergebnis für spezielle Pyramiden. Wir zerlegen einen Würfel in sechs kleine (regelmäßige vierseitige) Pyramiden, deren Grundkanten (2h) doppelt so lang sind wie ihre Höhen (h). Jede Teilpyramide hat dieselbe Grundfläche G. Damit ergibt sich unmittelbar: V Pyramide = 1 _ 6 · V Würfel = 1 _ 6 · G · 2h = 1 _ 3 · G · h = G · h ___ 3 Man kann beweisen: Die gefundene Formel gilt für alle Pyramiden, gleichgültig welches Vieleck die Grundfläche ist und gleichgültig, wo der Fußpunkt F der Höhe liegt. Von einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide kennt man die Länge der Grundkante a und die Seitenflächenhöhe h 1 . Berechne die Oberfläche der Pyramide! a) a = 14 cm, h 1 = 8,0 cm b) a = 19,8 cm, h 1 = 14,5 cm c) a = 2,6m, h 1 = 5,6m a a h h 1 S O = G + M Kurzsprechweise : Oberfläche = Grundfläche plus Mantelfläche Oberfläche der Pyramide 2h 2h h S V = 1 _ 3 · G · h Kurzsprechweise : Volumen = 1 _ 3 mal Grundfläche mal Höhe Rauminhalt (Volumen) der Pyramide 972 D A O I Arbeitsblatt 22u4rc Arbeitsblatt Plus mm65uc Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv