Das ist Mathematik 3, Schulbuch

220 Satz des Pythagoras J 3 Die Zahlen 5, 12 und 13 bilden ein pythagoreisches Tripel . Weise anhand von mindestens drei Beispielen nach, dass auch beliebige Vielfache dieser Zahlen (zB 10, 24 und 26) ebenfalls pythagoreische Tripel sind! Beweise folgende Behauptung allgemein: Sind x, y und z ein pythagoreisches Tripel , so bilden auch alle Vielfache dieser Zahlen pythagoreische Tripel. 1) Überprüfe diese Behauptung zunächst für das Doppel- te der drei Zahlen!­ Zeige also, dass die Gleichung (2 · x) 2 + (2 · y) 2 = (2 · z) 2 richtig ist, wenn x 2 + y 2 = z 2 gilt! 2) Drücke die Vielfachen von x, y und z durch k · x, k · y und k · z aus und verfahre wie in 1) ! Kreuze jeweils die zutreffenden Aussagen an! a) „Ich bin ein pythagoreisches Tripel!“ A 1, 2, 3 B 3, 4, 5 C 100, 200, 300 D 16, 17, 18 E 16, 30, 34 b) „Ich bin eine Quadratzahl“ A 3 B 7 C 9 D 15 E 25 Gegeben sind die zwei kleineren Zahlen des pythagoreischen Tripels. Ermittle die dritte Zahl! a) 10; 24 b) 8; 15 c) 27; 36 d) 28; 195 e) 44; 117 Gegeben sind die zwei größeren Zahlen des pythagoreischen Tripels. Ermittle die dritte Zahl! a) 20; 25 b) 45; 51 c) 80; 82 d) 345; 377 e) 765; 867 In den Aufgaben 905 und 906 sind jeweils zwei Zahlen gegeben. Den Längen welcher Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks könnten die gegebenen bzw. die gesuchten Zahlen entsprechen? Gibt es pythagoreische Tripel, bei denen alle drei Zahlen 1) nur gerade Zahlen, 2) nur ungerade Zahlen sind? Begründe deine Antwort! Hinweis Überlege, ob das Quadrat einer geraden (bzw. ungeraden) Zahl gerade oder ungerade ist! 902 D A O I Wenn drei natürliche Zahlen x, y und z den Satz des Pythagoras erfüllen, also ​ x​ 2 ​ + ​y​ 2 ​ = ​z​ 2 ​gilt, so nennt man diese drei natürlichen Zahlen ein „pythagoreisches Tripel“. Ein Beispiel für solch ein Tripel sind die Zahlen 3, 4 und 5. Durch Vervielfachen der drei Zahlen erhält man weitere pythagoreische Tri- pel ( ➞ historische Themenseite S. 209). Pythagoreische Tripel 903 D A O I 904 D A O I 905 D A O I 906 D A O I 907 D A O I 908 D A O I Satz des Pythagoras : In einem rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90° gilt: a 2 + b 2 = c 2 É c = ​ √ _____ a 2 + b 2 ​ a = ​ √ _____ c 2 – b 2 ​ b = ​ √ _____ c 2 – a 2 ​ Umgekehrt ergeben die Zahlen a, b und c, die die Beziehung a 2 + b 2 = c 2 erfüllen, immer auch die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Umkehrung des Quadrierens ist das (Quadrat-)Wurzelziehen. Eine Zahl b heißt Quadratwurzel einer Zahl a, wenn ​b​ 2 ​ = a ist: b = ​ √ __ a​ (mit a, b ≥ 0). AH S. 65 a c A B C b Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv