Das ist Mathematik 3, Schulbuch

213 J 2 Berechnungen mit dem Satz des Pythagoras Sebastian und Fritz haben festgestellt, dass bei manchen rechtwinkligen Dreiecken die dritte Seite relativ einfach zu finden ist (zB a = 3, b = 4, w 9 + 16 = 25 = 5 2 , also c = 5). Bei anderen wiederum ist es aber sehr schwierig. Sebastian stellt die Frage: „Bei welchen Zahlen kann ich die fehlende Seiten- länge einfach ermitteln?“ Fritz überlegt und sagt: „Wenn eine Quadratzahl herauskommt; das sind die Zahlen 1 ( = 1 2 ), 4 ( = 2 2 ), 9 ( = 3 2 ), , , , usw.“ Aber wie ist das bei den anderen Zahlen? Dieses Problem tritt in der Mathematik öfter auf: Man sucht eine Zahl , deren Quadrat man kennt . Daher hat man ein eigenes Rechensymbol dafür eingeführt. Die Umkehrung des Quadrierens b 2 = a (mit a, b ≥ 0) ist das Wurzelziehen b = √ __ a . Dieses Symbol heißt Quadratwurzel aus a oder kurz: Wurzel aus a . ZB √ __ 64 = 8, weil 8 2 = 64 oder √ ____ 10,24 = 3,2 weil 3,2 2 = 10,24 Natürlich muss man nicht immer probieren, um die Wurzel einer Zahl zu finden. Mit Hilfe des Taschenrechners kann man die Quadratwurzel rasch ermitteln. Man erkennt, dass die Wurzel nicht immer eine „schöne“ Zahl ist (zB √ _ 2 = 1,41…; √ _ 8 = 2,828… usw.). Wurzeln aus Quadratzahlen (zB 1, 4, 9, 25, 36, 49, …) sind natürliche Zahlen , die Quadratwurzeln aus den anderen natürlichen Zahlen ergeben Dezimalzahlen mit unendlich vielen Kommastellen , die nicht periodisch sind. Dies ist oben bei der Wurzel aus 2 mit den Punkten angedeutet. Manche TR zeigen acht, manche zehn und einige sogar zwölf Stellen an. Trotzdem sind das nicht alle Komma- stellen dieser Wurzel. Für weitere Berechnungen muss man diese Ergebnisse immer runden ! Hinweis Dezimalzahlen mit unendlich vielen, nicht periodischen Nachkommastellen werden wir in der 4. Klasse näher betrachten. Mit Hilfe der Wurzel kann man die Längen der einzelnen Dreiecksseiten direkt aus dem Satz des Pythagoras ausdrücken. Schreibe die Quadratzahlen kleiner als 250 auf! Versuche sie dir einzuprägen, da du sie häufig beim Wurzelziehen (aber auch beim Quadrieren) benötigst! interaktive Vorübung 7n8357 AH S. 63 Eine Zahl b heißt Quadratwurzel aus a , wenn b 2 = a ist, also b = √ __ a. Dabei dürfen a und b keine negativen Zahlen sein. Das Berechnen der Wurzel heißt Wurzelziehen . Quadratwurzel Aus a 2 + b 2 = c 2 folgt c 2 = a 2 + b 2 w c = √ _____ a 2 + b 2 a 2 = c 2 – b 2 w a = √ _____ c 2 – b 2 b 2 = c 2 – a 2 w b = √ _____ c 2 – a 2 Umformungen des pythagoreischen Lehrsatzes 869 D A O I 2 Berechnungen mit dem Satz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv