Das ist Mathematik 3, Schulbuch

212 Satz des Pythagoras J 1 Beweis des Satzes von Pythagoras a) 1) Betrachte die beiden gleich großen Quadrate unten! Wie groß ist jeweils eine Seitenlänge? 2) Begründe, dass das blaue Viereck in der linken Figur ein Quadrat sein muss! (Warum muss δ ein rechter Winkel sein?) 3) Begründe, dass die acht rechtwinkligen Dreiecke in beiden Figuren gleich groß sind! 4) Begründe, wieso die blaue Fläche der linken Figur gleich groß wie die Summe der beiden blau eingefärbten Flächen der rechten Figur sein muss! Daraus folgt: ​c​ 2 ​ = ​a​ 2 ​ + ​b​ 2 ​ b) Zeichne zwei gleich große Quadrate mit beliebiger Seitenlänge (zB s = 10 cm) und acht rechtwinklige Dreiecke mit selbstgewählten Kathetenlängen a und b (a + b = s)! Schneide diese Dreiecke aus und klebe sie in die beiden Quadrate entsprechend der linken bzw. rechten Figur! Berechne die freie Fläche in der linken Figur und vergleiche diese mit der Fläche der „Löcher“ in der rechten! a c c 2 b a c b α δ β a c b c a b a b 2 a 2 b a b a b a b Kreuze für ➀ und ➁ so an, dass ein mathematisch richtiger Satz entsteht! Die ➀ der Flächeninhalte der Kathetenquadrate ergibt den Flächeninhalt eines Quadrats ­ konstruiert über der ➁ des Dreiecks. ➀ ➁ Differenz Winkelsumme Produkte Hypotenuse Summe Kathete Formuliere den Satz des Pythagoras für alle abgebildeten rechtwinkligen Dreiecke! Verwende dazu den angegebenen Tipp! a) s r t S R T b) h s r c) m g r w t e Zeichne das abgebildete Dreieck in dein Heft und konstruiere die Quadrate über den Katheten bzw. der Hypotenuse! Berechne den Flächeninhalt aller Quadrate! Wie lautet der Satz des Pythagoras für dieses Dreieck? 865 D A O I Messungen bei einzelnen geometrischen Figuren können niemals die Gültigkeit eines Gesetzes für alle gleichartigen Figuren beweisen. Jedoch sollte man nicht auf Konstruieren und Messen verzichten , da sie häufig helfen, geometrische Zusammenhänge zu erkennen. Oft legen sie auch nahe, wie ein Beweis geführt werden kann ( ➞ Aufgabe 865). Für den Satz des Pythagoras sind mehr als 300 verschiedene Beweise bekannt. Vom Messen zum Beweisen 866 D A O I 867 D A O I 868 D A O I f g h Achte auf die Seiten­ bezeichnungen! Wenn diese anders lauten, so ändern sich auch die Be- zeichnungen im Satz des Pythagoras. Tipp Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv