Das ist Mathematik 3, Schulbuch

193 I 3 Flächeninhalt von Quadrat, Rechteck und Raute Yasemin durchquert jeden Morgen den quadratischen Schulhof. Sie zählt dabei ihre Schritte und bemerkt, dass die Diagonale des Schulhofs rund 16m lang ist. Sie fragt sich, wie groß nun die Fläche des Schulhofs ist. Wenn Yasemin die Seiten- länge kennt, dann kann sie den Flächeninhalt mit der Formel A = berechnen. Ohne die Seitenlänge a muss sie sich eine andere Möglichkeit über legen. Sie beginnt mit einer Skizze ( ➞ Abbildung rechts). Die Diagonalen das Quadrats stehen aufeinander und unterteilen das Quadrat in rechtwinklige Dreiecke . Yasemin kennt auch die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks: A = a · b ___ 2 . Die Seitenlängen a bzw. b entsprechen genau einer halben Diagonalenlänge. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks in dem Quadrat lautet also ( d _ 2 · d _ 2 )  2 = d 2 __ 4  2 = d 2 __ 8 . Da sie allerdings vier Dreiecke benötigt, muss sie den Flächeninhalt noch mit vier multiplizieren: A = d 2 __ 8 · 4 = d 2 __ 2 Da auch bei der Raute die Diagonalen normal aufeinander stehen , kann der Flächeninhalt auf eine ähnliche Weise berechnet werden. Wir betrachten noch eine andere Möglichkeit, die Formel herzuleiten: Die Diagonalen e und f sind gleich lang wie die Seiten eines des Rechtecks , das die Raute umgibt . Der Flächeninhalt des Rechtecks ist gegeben durch: A = e · f. Der Flächeninhalt der Raute entspricht genau der Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks also A = e · f __ 2 . Da beim Rechteck die Diagonalen im Allgemeinen nicht normal aufeinander stehen, kann der Flächeninhalt nicht mit Hilfe der Diagonalen berechnet werden, sondern nur mit der Formel A = a · b . Von einem Quadrat kennt man die Länge der Diagonale. Berechne den Flächeninhalt! a) d = 7,0 cm b) d = 1,2m c) d = 2,3m d) d = 4,1m e) d = 23,5m Von einer Raute kennt man die Längen der Diagonalen. Berechne den Flächeninhalt! a) e = 34 cm, f = 63 cm b) e = 2,25m, f = 4,75m c) e = 7,5 cm, f = 3,8 cm 1) Konstruiere die Raute ABCD und zeichne den Inkreis! 2) Berechne den Flächeninhalt der Raute! Miss benötigte Längen in deiner Zeichnung ab! a) a = 3,9 cm, α = 75° b) a = 4,8 cm, e = 7,3 cm c) f = 6,4 cm, α = 60° Von einer Raute kennt man den Flächeninhalt und die Länge einer Diagonale. Wie lang ist die andere Diagonale? a) A = 828m 2 , e = 46,0m b) A = 11,6 cm 2 , f = 2,9 cm c) A = 152,5m 2 , e = 24,4m Zeichne drei beliebige Rechtecke ABCD mit a ≠ b und zeige damit, dass im Rechteck A = e · f __ 2 nicht gilt! interaktive Vorübung 5t5d2w AH S. 56 a f e a A B C D Quadrat Rechteck Raute A = a · a = a 2 oder A = 1 _ 2 · d · d = d 2 __ 2 A = a · b A = e · f __ 2 Flächeninhalt von Quadrat, Rechteck und Raute (Rhombus) 786 D A O I 787 D A O I Siehe Aufgabe 778 auf S. 191! Tipp 788 D A O I 789 D A O I 790 D A O I 3 Flächeninhalt von Quadrat, Rechteck und Raute a a a a d d A B C D Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv