Das ist Mathematik 3, Schulbuch

188 Flächeninhalt ebener Vielecke I 1 1) Zeichne das Dreieck ABC und ermittle den Inkreismittelpunkt I! 2) Konstruiere die Berührradien des Inkreises mit den Dreiecksseiten! 3) Zeichne dann den Inkreis und gib seinen Radius ρ an! 4) Gib die Koordinaten des Inkreismittelpunktes I an! a) A = ( ‒ 5 1 4), B = (7 1 0), C = (10 1 9) c) A = (6 1 2), B = ( ‒ 9 1 7), C = ( ‒ 6 1 ‒ 2) b) A = ( ‒ 4 1 ‒ 3), B = (4 1 ‒ 5), C = (0 1 6) d) A = (2 1 ‒ 5), B = ( ‒ 1 1 7), C = ( ‒ 6 1 ‒ 3) 1) Zeichne den Kreis k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r! 2) Lege in den Punkten T 1 und T 2 die Tangenten t 1 und t 2 an den Kreis! Vergiss nicht, zuerst die Berührradien einzuzeichnen! 3) Beschrifte den Schnittpunkt S der beiden Tangenten und gib seine Koordinaten an! a) k [M = (0 1 0), r = 5 cm]; T 1 = ( ‒ 3 1 4), T 2 = ( ‒ 4 1 ‒ 3) b) k [M = ( ‒ 1 1 ‒ 2), r = 5 cm]; T 1 = ( ‒ 4 1 2), T 2 = (3 1 1) 1) Zeichne die Kreise k 1 [M 1 = ( ‒ 2 1 1), r 1 = 4 cm] und k 2 [M 2 = (4 1 ‒ 3), r 2 = 5 cm]! 2) Wie lauten die Koordinaten ihrer beiden Schnittpunkte S 1 und S 2 ? 3) Lege in jedem dieser Schnittpunkte jeweils die Tangenten an beide Kreise! 4) Miss den (spitzen) Winkel, unter dem die beiden Tangenten einander in S 1 schneiden und ver­ gleiche ihn mit dem Schnittwinkel der beiden Tangenten in S 2 ! 5) Begründe, wieso diese Schnittwinkel gleich groß sein müssen! Ein Punkt C ist nicht direkt erreichbar. Daher misst man in den Punkten A und B die Winkel α = ¼ BAC und β = ¼ CBA. Konstruiere den Punkt C und gib seine Koordinaten an! Wie weit ist er von der Gerade AB entfernt? a) A = (1 1 1), B = (4 1 ‒ 2), α = 45°, β = 104° c) A = ( ‒ 5 1 4), B = ( ‒ 7 1 ‒ 3), α = 47°, β = 70° b) A = ( ‒ 6 1 ‒ 4), B = ( ‒ 1 1 ‒ 2), α = 82°, β = 40° d) A = ( ‒ 7 1 ‒ 1), B = ( ‒ 1 1 0), α = 96°, β = 38° Eine 250m lange Standlinie AB wird in einem Plan durch die Punkte A = (1 1 0) und B = (6 1 0) dar­ gestellt (Koordinatenangabe in Zentimeter). Zu einem Geländepunkt P werden die Horizontalwinkel ¼ BAP = 23° und ¼ PBA = 63° gemessen. Zu einem zweiten Geländepunkt Q, der sich auf der anderen Seite der Standlinie AB befindet, werden die Horizontalwinkel ¼ BAQ = 72° und ¼ QBA = 35° gemessen. 1) Welcher Maßstab wurde in diesem Plan gewählt? 2) Welche Koordinaten haben die Punkte P (1. Quadrant) und Q (4. Quadrant)? 3) Wie lang ist die Strecke PQ in Wirklichkeit? 4) Wie groß ist der Winkel, den die Strecke PQ mit der Standlinie AB einschließt? 761 D A O I 762 D A O I 763 D A O I 764 D A O I Beispiel A = (1 1 2), B = ( ‒ 4 1 4), α = 25°, β = 108° Zeichne ein Koordinatensystem mit ​ __ 01​ = 1 cm auf jeder Achse! Markiere die Punkte A und B! Zeichne die entsprechenden Winkel ein! Lösung: Der Punkt C hat die Koordinaten ( ‒ 6 1 1,6) und der (Normal-)Abstand zur Linie AB beträgt ungefähr 3 cm . 0 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 3 4 x y A α β B C b c a ≈ 3 cm 765 D A O I Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv