Das ist Mathematik 3, Schulbuch

Wachstums- und Abnahmeprozesse G2 154 2.3 Weitere Wachstums- und Zerfallsprozesse Bei vielen Wachstums- und Zerfallsprozessen in der Natur verändert sich der Anfangswert A pro Zeiteinheit (Jahr, Monat, Tag, …) unter gleichen äußeren Bedingungen um einen festen Prozentsatz . Beispiele für solche Wachstumsprozesse sind: •  Anzahl von Bakterien in einer Kultur wie in dem Bild links, •  Größe von Populationen (Bevölkerung, Hasen im Wald ohne Feinde, …), •  Holzbestand eines Waldes Der radioaktive Zerfall von Atomen ist ein Beispiel für einen Zerfallsprozess . Es ist möglich, auch hier für die Berechnung des nach n Zeiteinheiten vorhandenen Endwertes E die Zinseszinsformel K n = K 0 · q n heranzuziehen. Das heißt E = A · q n . Wenn zB die Bevölkerungszahl eines Staates jährlich durchschnittlich um 2% wächst , so ist der Änderungsfaktor q = 1 + ____ 100 = . Der Änderungsfaktor entspricht dem Aufzinsungsfaktor in der Zinseszinsrechnung (vgl. Seite 152). Wenn die Bevölkerungszahl jährlich im Schnitt um 3% abnimmt , so ist der Änderungsfaktor q = 1 – ____ 100 = 0,97 . Entscheide, bei welchen Situationen es sich um einen Wachstumsprozess und bei welchen es sich um einen Abnahmeprozess handelt und erfinde einen passenden Text zu den Termen! 1) 180 · 1,3 10 2) 1 000 · 0,97 12 3) 400 000 · 1,05 n 4) 0,3 · 0,3 n Entscheide, welcher der gegebenen Terme zur Berechnung der gestellten Aufgabe angewandt werden kann! Begründe deine Entscheidung! 10 000 · 1,2 10 10 000 · 0,8 10 10 000 · 1,02 10 10 000 · 0,98 10 10 000 · 2 10 10 000 · 2 20 A Die Anzahl der Bakterien einer Bakterienkultur verdoppelt sich täglich. Zu Beginn sind 10 000 Bakterien vorhanden. Wie groß ist die Anzahl der Bakterien nach 10 Tagen? B Ein Lichtstahl trifft mit einer Intensität von 10 000 Lux auf eine 10 cm dicke Glasplatte. Beim Durch - gang durch die Glasplatte nimmt die Lichtintensität pro cm um 20% ab. Wie groß ist die Licht stärke am anderen Ende der Glasplatte noch? C Die Einwohnerzahl einer Kleinstadt nahm in den letzten 10 Jahren um durchschnittlich 2% jährlich ab. Vor 10 Jahren betrug sie 10 000. Wie viele Einwohner bzw. Einwohnerinnen hat die Stadt heute? Lies den Informationstext zur Fibonaccifolge und dem Wachstumsprozess bei Kaninchen auf S. 141! Stelle die Gesamtzahl der Kaninchen für die ersten sieben Monate in einem Graphen dar! Beschreibe in eigenen Worten, wie man die Anzahl für die nächsten Monate berechnen kann! Formel für den Endwert nach n Zeiteinheiten und Änderungsfaktor q : E = A · q n Kurzsprechweise : Endwert = Anfangswert mal Änderungsfaktor hoch n. Bei q > 1 ( wegen 1 + p ___ 100 ) handelt es sich um einen Wachstumsprozess , bei 0 < q < 1 ( wegen 1 – p ___ 100 ) um einen Abnahmeprozess . Wachstums- und Zerfallsprozesse 668 D A O I 669 D A O I 670 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv