Das ist Mathematik 3, Schulbuch

Wachstums- und Abnahmeprozesse G2 152 2.2 Zinseszinsen Irenes Vater legt Anfang Jänner 6 000€ auf ein Sparbuch mit 20% p. a. Nettoverzinsung. Das ist ein unrealistischer Zinssatz. Wir verwenden ihn hier aber, weil dann der Effekt deutlicher zu sehen ist. Die anfallenden Zinsen werden jedes Jahr am Jahresende zum Kapital addiert. Im nächsten Jahr wird dann das um die tatsächlich anfallenden Zinsen vermehrte Kapital verzinst. Wir sprechen von Zinseszinsen , weil die Zinsen des 1. Jahres im 2. Jahr selbst wieder Zinsen bringen und so fort. Die Tabelle zeigt den Guthabenstand von Irenes Vater nach 1 Jahr, 2 Jahren, 3 Jahren und 4 Jahren sowie die in dieser Zeit tatsächlich anfallenden Zinsen. Vervollständige die Tabelle! Zeit Guthaben Zinsen Einzahlungszeitpunkt 6 000€ 0€ Nach 1 Jahr 6 000€ · 1,2 = 7200€ 1 200€ Nach 2 Jahren 7200€ · 1,2 = 8 640€ 2 640€ Nach 3 Jahren 8 640€ · 1,2 = € € Nach 4 Jahren € · 1,2 = € € Im Abschnitt „Terme“ haben wir Umformungsschritte kennengelernt, mit denen wir im oben ge rechneten Beispiel schneller zum Ergebnis kommen. Bezeichnen wir das Anfangskapital mit K 0 , den Guthabenstand nach 1 Jahr mit K 1 , den nach 2 Jahren mit K 2 , …, den nach n Jahren mit K n , so gilt: Nach 1 Jahr: K 1 = K 0 + K 0 · p ___ 100 = K 0 · ( 1 + p ___ 100 ) , dabei wurde K 0 herausgehoben! Nach 2 Jahren: K 2 = K 1 + K 1 · p ___ 100 = K 1 · ( 1 +  p ___ 100 ) = K 0 · ( 1 + p ___ 100 ) · ( 1 +  p ___ 100 ) = K 0 · ( 1 + p ___ 100 ) 2 Nach n Jahren: K n = K 0 · ( 1 +  p ___ 100 ) · ( 1 +  p ___ 100 ) · … · ( 1 +  p ___ 100 ) = K 0 · ( 1 + p ___ 100 ) n Wenden wir jetzt im oben gerechneten Beispiel die Zinseszinsformel an, so gilt: K 4 = 6 000€ · 1,2 4 = 12 441,60€ Hinweis Rechne bei den folgenden Aufgaben mit der KESt. ! Zeichne einen Graphen, der die Zinsen pro Jahr für die ersten sechs Jahre zeigt! Fertige dazu eine Tabelle wie oben an! Verbinde die Punkte zu einer Kurve! a) K 0 = 10€, p% = 30% b) K 0 = 20€, p% = 15% c) K 0 = 30€, p% = 12% Jahre 0 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 1 2 3 4 5 Kapital in € + 20% (mal 1,2) + 20% (mal 1,2) + 20% (mal 1,2) + 20% (mal 1,2) mal 1,2 4 A B C D E F n Mal Die Zinseszinsformel für den tatsächlichen Guthabenstand nach n Jahren lautet: K n = K 0 · ( 1 + p netto ___ 100 ) n = K 0 · q n Der Faktor q = 1 + p netto ___ 100 wird Aufzinsungsfaktor genannt. Zinseszinsen Wähle __ 01 š 1 Jahr auf der x-Achse und __ 01 š 10€ auf der y-Achse! Tipp 661 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv